Question

Calcule o comprimento do arco indicado:
y = x^2/3 do ponto (1, 1) a (8, 4).

Answer 1

o comprimento vai ser dado por
$\boxed{\boxed{L= \int\limits^a_b {\sqrt{1+[f'(t)]^2}} \, dt }}$

temos
$y= x^{ \frac{2}{3} }$

como a derivada vai ser elevada ao quadrado prefiro isolar o x
$x= y^{ \frac{3}{2} }\\\\f(y)= y^\frac{3}{2} \\\\f'(y)= \frac{3}{2}*y^{ \frac{3}{2}-1 } \\\\\boxed{\boxed{f'(y)= \frac{3}{2}*y^ \frac{1}{2} }}$

elevando a derivada ao quadrado
$[f'(y)]^2 =\left( \frac{3}{2}*y^{ \frac{1}{2} } \right)^2 = \frac{9}{4}*y$

calculando o comprimento do arco 
y varia de 1 a 4
temos a integral

$L= \int\limits^4_1 { \sqrt{1+ \frac{9}{4}*y } } \;\, dy \\\\ L= \int\limits^4_1 { \sqrt{ \frac{4+9y}{4} } } \, dy \\\\ \boxed{\boxed{L= \frac{1}{2} \int\limits^4_1 { \sqrt{4+9y} } \, dy}} \\\\.$

resolvendo a integral
U = 4+9y
dU/9 = dy

$L= \frac{1}{2}* \frac{1}{9} \int _1^4 \sqrt{u} \; du\\\\L= \frac{1}{18}*[ \frac{2}{3}* \sqrt[2]{u^3} ]^4_1\\\\ L= \frac{1}{27}*[ \sqrt{(4+9*4)^3}- \sqrt{(4+9*1)^3}] \\\\ \boxed{\boxed{L= \frac{ \sqrt{40^3} - \sqrt{13^3} }{27} \approx 7,633}}$

Answer 2

O comprimento do arco é de, aproximadamente, $7,634 \ u.c.$

Comprimento de uma curva por Integral Definida

Para efetuar o cálculo do comprimento de uma curva definida por uma função $f$ é necessário utilizar a integral definida.

Aplicação da Integral Definida

$C=\int\limits_a^b \ \sqrt{1+[f'(t)]^2} \ dt$

Dada a função $y=x^{\frac{2}{3}}$ observe que se trabalharmos $x$ em função de $y$ a integração será obtida de forma mais prática dessa forma vamos trabalhar com a função $x=y^{\frac{3}{2}}$.

Derivando em $y$

$x'=\dfrac{3}{2}y^{\frac{1}{2}}$

Substituindo na integral para calcular o comprimento da curva temos:

$C=\int\limits_1^4\sqrt{1+\left(\dfrac{3}{2}y^{\frac{1}{2}}\right)^2} \ dy$

Desenvolvendo,

$C=\dfrac{1}{2}\cdot \int\limits_1^4 (4+9y)^{\frac{1}{2}} \ dy$

$C=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{9}\cdot \dfrac{2}{3}\cdot \left[(4+9y)^{\frac{3}{2}}\right]_1^4$

$C=\dfrac{\sqrt{40^3}-\sqrt{13^3}}{27}\approx 7,634$

Para saber mais sobre integral definida acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/27983091