Question

calcule o comprimento do arco de curva da hélice circular de equação r(t)=costî + sentj+3tk, se 0≤t≤2π

Answer 1

aplicando-se a formula
. b
L=∫ (√((dx/dt)²+(dy/dt)²+(dz/dt)²))dt
. a

dr(t)/dt = d(costi+sentj+3tk)/dt = dcosti/dt + dsentj/dt + d3tk/dt
dr(t)/dt = -senti+costj+3k
. 2π
L=∫(√(-sent)²+cos²t + 3²))dt
. 0
=∫√(sen²t+cos²t+9)dt=∫√10dt = t√10| b=2π a=0
=2π√10 - 0√10 = 2π√10u.m.

Answer 2

Sabemos que podemos descrever uma curva através de uma função vetorial, isso é a parametrização de uma curva, sendo que cada variável fica em função de uma variável comum (normalmente t):
$t\to r(t)=(x(t),y(t),z(t))$
Logo:
$r(t)=(\cos t,\sin t,3t)~~~t\in\mathbb{R}$
O comprimento de uma curva (S), é dado por:
$\boxed{L=\int\limits_{r}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}dt}$
Logo:
$\displaystyle i)~~~~L=\int\limits_{r}\sqrt{\left(\frac{d}{dt}(\cos t)\right)^2+\left(\frac{d}{dt}\sin t\right)^2+\left(\frac{d}{dt}3t\right)^2}dt\\\\ii)~~~L=\int\limits_{r}\sqrt{\sin^2t+\cos^2t+9}dt\\\\~~~\sin^2t+\cos^2t=1\implies \sqrt{\sin^2t+\cos^2t+9}=\sqrt{10}\\\\iii)~~L=\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{10}dt\\\\iv)~~L=\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{10}dt=\left[\frac{}{}\sqrt{10}t\right]_{0}^{2\pi}\\\\v)~~~L=2\sqrt{10}\pi-0=\boxed{\boxed{2\sqrt{10}\pi=\sqrt{40\pi^2}}}$