Question

Calcule o comprimento do arco

Answer 1

• Formula do comprimento do arco: Se   $f'$   for continua em [ a , b ] ,  então o comprimento da curva   $y = f(x)$  , a $\leq$  x  $\leq$ b, é:

$L= \int\limits^a_b {\sqrt{1+[f' (x) ] ^2 } } \, dx$        

A nossa curva é    $r(t)$     ( não consegui representar o campo)

Colocando os valores apresentados na formula, teremos:

$L= \int\limits^{2\pi }_0 {\sqrt{1+[r'(t)]^2} } \, dx$

$r'(t)= cos ( 2t) i + sen( 2t) j + 4k$ $= -2sen(2t) + 2 cos( 2t) + 0 = 2 ( i^{2} sen(2t) + cos ( 2t))$$= 2( cos ( 2t) + i^{2} sen(2t))$

vamos usar a formula de euler

$e^{ix} = cos (x) + i.sen(x)$

substituindo os valores.

$e^{i^{2}.2t } = cos( 2t) + i^{2} sen(2t)$

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$r'(t) = 2. e^{i^{2}.2t }$

voltando a nossa primeira formula:

$L=\int\limits^{2\pi }_{0} {\sqrt{1+ (2.e^{i^{2}.2t } )^2} } \, dx = \int\limits^{2\pi }_0 {\sqrt{1+ (2.e^{4.i^{2}.t } )}} \, dx =$

vou resolver essa integral por substituição.

$u= 1+2. e^{4.i^{2}.t }$   e   $dv= dx$

$\int\limits^{2\pi }_0 {\sqrt{u} } \, dv$  

pelo teorema fundamental do calculo.

[ $[\sqrt{2\pi } - \sqrt{0} ]$ ≈ 2,506628274631000502415765284811

Resposta: 2,506628274631000502415765284811