Question

Calcule o comprimento da curva y=x^3/2-4 do ponto (1,3) ao ponto (4,4).

Answer 1

$\large\boxed{L=\frac{ \sqrt[3]{(40) {}^{2} } }{27} - \frac{ \sqrt[3]{(13) {}^{2} } }{27}\approx 7,63}$

Explicação

Temos a seguinte função:

$\: \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \: y = x {}^{ \frac{3}{2} } - 4$

Para calcular o comprimento desta função usaremos a seguinte relação:

$\: \: \: \: \: \: L = \int\limits_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2} } \: dx$

Sendo a e b o intervalo em que se quer calcular o comprimento e dy/dx a derivada da função a qual o comprimento será calculado.

• Derivada da função.

Como é necessário a derivada função y dada na questão, então vamos iniciar por isto.

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x {}^{ \frac{3}{2} } ) - \frac{d}{dx} (4) \: \: \to \: \: \frac{dy}{dx} = \frac{3x {}^{ \frac{1}{2} } }{2}$

• Intervalo de integração.

A questão nos informa que o comprimento parte do ponto A(1,3) e B(4,4), como nos interessa apenas o intervalo em x, temos então que:

$A( \underbrace{1}_{x},3) \: \: e \: \: B( \underbrace{4}_{x},4) \: \to \: 1 \leqslant x \leqslant 4$

Tendo encontrados os dados necessários, vamos substituir todos eles na fórmula citada acima.

$L = \int\limits_{1}^{4} \sqrt{1 + \left( \frac{3x {}^{ \frac{1}{2} } }{2} \right)^{2} } \: dx \: \: \to \: \: L = \int\limits_{1}^{4} \sqrt{1 + \frac{9x {}^{2.( \frac{1}{2} )} }{4} } \: dx \\ \\ L = \int\limits_{1}^{4} \sqrt{ \frac{4 + 9x}{4} } \: dx \: \: \to \: \: L = \int\limits_{1}^{4} \frac{ \sqrt{4 + 9x } }{ \sqrt{4} } \: dx\\ \\ L = \int\limits_{1}^{4} \frac{ \sqrt{4 + 9x } }{2} \: dx \: \to \: \: L = \frac{1}{2} \int\limits_{1}^{4} \sqrt{4 + 9x } \: dx$

Agora para resolver a integral propriamente dita, vamos usar a substituição de variável. Digamos que a função que encontra-se dentro do radical é igual a u e após isso vamos derivar.

$u = 4 + 9x \: \: \to \: \: du = 9dx \: \to \: \: \frac{du}{9} = dx$

Para facilitar o cálculo, vamos mudar os limites de integração de x para u, fazendo apenas a substituição dos mesmos na relação de u.

$\: \: \: \: \: \: \underbrace{u = 4 + 9.1 \: \: \to \: \: u = 13} _{x = 1}\\ \: \: \: \: \: \underbrace{u = 4 + 9.4\: \to \: u = 40}_{x = 4}$

Substituindo estes dados na integral:

$\frac{1}{2} \int\limits_{13}^{40} \sqrt{u} . \frac{du}{9} \: \to \: \: \frac{1}{18} \int\limits_{13}^{40} \sqrt{u} \: du \\ \\ \frac{1}{18} \int\limits_{13}^{40} u {}^{ \frac{1}{2} } \: du \: \: \to \: \: \frac{1}{18} . \left[ \frac{u {}^{ \frac{1}{2} + 1} }{ \frac{1}{2} + 1} \right] \bigg| _{13}^{40} \\ \\ \frac{1}{18} .\left[ \frac{2u {}^{ \frac{3}{2} } }{ 3} \right] \bigg| _{13}^{40}$

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, isto é, substituindo o limite superior na função menos o limite inferior substituido na função.

$\frac{1}{18} . \left[ \frac{2(40) {}^{ \frac{3}{2} } }{3} - \frac{2(13) {}^{ \frac{3}{2} } }{3} \right] \: \: \to \: \: \frac{1}{18} . \left[ \frac{2. \sqrt[2]{(40) {}^{3} } }{3} - \frac{2. \sqrt[2]{(13) {}^{3} } }{3} \right] \\ \\ \frac{2 \sqrt[2]{(40) {}^{3} } }{18.3} - \frac{2 \sqrt[2]{(13) {}^{3} } }{18.3} \: \to \: \: \boxed{\frac{ \sqrt[3]{(40) {}^{2} } }{27} - \frac{ \sqrt[3]{(13) {}^{2} } }{27}}$

Espero ter ajudado

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