Question

Calcule o comprimento da corda determinada pela interseção da circunferência λ: x²+y²+6y=0 com a reta s:y-x-1=0.

Answer 1

Bem, sabemos que:

y - x - 1 = 0
y = x + 1

Substituindo na equação da circunferência, teremos que:

x² + y² + 6y = 0
x² + (x + 1)² + 6(x + 1) = 0
x² + x² + 2x + 1 + 6x + 6 = 0
2x² + 8x + 7 = 0

​Δ = 8² - 4(2)(7)
Δ = 64 - 56
Δ = 8
√Δ = √8 = 2√2

x' = (-8 + 2√2)/4
x' = (-4 + √2)/2

x'' = (-8 - 2√2)/4
x'' = (-4 - √2)/2

Substituindo x' e x'' na equação da reta, podemos encontrar y' e y'':

y' = x' + 1
y' = (-4 + √2 + 2)/2
y' = (-2 + √2)/2

y'' = x'' + 1
y'' = (-4 - √2 + 2)/2
y'' = (-2 - √2)/2

Portanto, os dois pontos são:

[x'; y'] = [(-4 + √2)/2; (-2 + √2)/2]
[x'', y''] = [(-4 - √2)/2; (-2 - √2)/2]

Agora, basta calcularmos a distância entre os pontos:

d = √(x'' - x')² + (y'' - y')²
d = √[{(-4 - √2)/2} - {(-4 + √2)/2}]² + [{(-2 - √2)/2} - {(-2 + √2)/2}]²
d = √[(-2√2)/2]² + [(-2√2)/2]²
d = √(8/4) + (8/4)
d = √4
d = 2

Portanto, o comprimento da corda é igual a 2.