Question

Calcule o coeficiente de $\mathbf{x^{n + 1}}$ no polinômio $\mathbf{x^{n + 3} + a \cdot x^{n + 2} + ...}$ cujas raízes são 0 (zero) com multiplicidade 3 e 2 com multiplicidade $\mathbf{n}$.

Answer 1

Olá Dan.


Pelo enunciado temos a seguinte expressão:
 
$\mathsf{p(x) = (x - 0)^3 . (x - 2)^n}\\\mathsf{p(x) = x^3 . (a\cdot x^n + b\cdot x^{n - 1} + c.x^{n - 2} + ... + x^0 \cdot 2^n)}$

Então queremos achar o coeficiente de $\maths{x^{n-2}}$ , ou seja, c. 

Por binômio de Newton, temos:


$\mathsf{T_{p + 1} = \binom{n}{p}~x^{n - p} . (-2)^p}\\\\\\\mathsf{p=2}\\\\\ \\\mathsf{T_3=\binom{n}{2}\cdot x^{n-2}\cdot(-2)^2}\\\\\\\mathsf{T_3 = \dfrac{n!}{2! . (n - 2)!}\cdot x^{n-2}\cdot(4)}\\\\\\\mathsf{T_3=\dfrac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)!}{\diagup\!\!\!\!2\cdot(n-2)!}\cdot x^{n-2}\cdot\diagup\!\!\!\!4}\\\\\\\boxed{\mathsf{T_3=2n\cdot(n-1)\cdot x^{n-2}}}$


Portanto o coeficiente c será igual a 2n . (n - 1).


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