Question

Calcule o coeficiente de dilatação linear de um cabo que, ao ser aquecido de 20°C até 87°C, sofre uma variação de comprimento de 241,2 mm, sendo seu comprimento final de 300,2412m.

Lembre-se que na formula ambas as medidas devem estar em metros e que mm= milímetro

Answer 1

O coeficiente de dilatação linear desse tal cabo é de 1,2 · 10⁻⁵ °C⁻¹.

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Cálculo

Matematicamente, a dilatação linear (variação de comprimento) é proporcional ao produto do comprimento inicial pelo coeficiente de dilatação linear pela variação de temperatura, tal como a equação I abaixo:

$\quad \LARGE {\boxed{\boxed{\begin{array}{lcr} \\\ {\sf \Delta L = L_0 \cdot \Huge \alpha\cdot \LARGE \sf \Delta T } ~\\\ \end{array}}}} \Large ~ ~ ~ \textsf{(equac{\!\!,}{\~a}o I)}$

$\large \textsf{Onde:}$

$\large \sf \Delta L \Rightarrow variac{\!\!,}\tilde{a}o ~ do ~ comprimento ~(em ~ m)$

$\large \sf L_0 \Rightarrow comprimento ~ inicial ~ (em ~ m)$

$\sf \Large \alpha~\large \sf \Rightarrow coeficiente ~de ~ dilatac{\!\!,}\tilde{a}o ~ linear ~ (em ~ ^\circ C^\textsf{-1})$

$\large \sf \Delta T \Rightarrow variac{\!\!,}\tilde{a}o ~ de ~ temperatura ~ (em ~^\circ C)$

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Aplicação

Sabe-se, conforme o enunciado:

$\LARGE \sf \displaystyle \rightarrow \begin{cases} \sf \Delta L = \textsf{241,2 mm} = \textsf{0,2412 m} \\\sf L_F = \textsf{300,2412 m} \\\sf L_0 = L_{F} - \Delta L = \textsf{300,2412 m} - \textsf{0,2412} = \textsf{300 m} \\\sf \Huge \alpha = \LARGE \textsf{? } {^\circ C}^\textsf{-1} \\\sf \Delta T = T_{final} - T_{inicial} = 87 - 20 = 67 \; ^\circ C \\ \end{cases}$

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Assim, tem-se que:
$\Large \sf \textsf{0,2412} \left[m\right] = 300 \left[m\right] \cdot \huge \text{ \sf \alpha } \Large ~\!\text{ \sf \cdot ~\! 67 \left[^\circ C\right] }$

$\Large \sf \textsf{0,2412} \left[m\right] = 20100\left[m\right] \cdot \left[^\circ C\right]\huge \cdot \text{ \sf \alpha }$

$\Large \text{ \sf \Huge \sf \alpha ~\! \Large \text{ \sf =~\! \dfrac{\textsf{0,2412}\left[m\right]}{20100 \left[m\right] \cdot \left[^\circ C\right]} } }$

$\Large \text{ \sf \Huge \sf \alpha ~\! \Large \sf =~\! \textsf{1,2} \cdot 10^\textsf{-5} ~\! \left[\dfrac{1}{^\circ C}\right] }$

$\boxed {\boxed {\Large \text{ \sf \Huge \sf \alpha ~\! \Large \sf =~\! \textsf{1,2} \cdot 10^\textsf{-5} ~\! \left[^\circ C^\textsf{-1}\right] }}}$

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