Question

Calcule o campo eléctrico criado por um anel uniformemente carregado com carga Q, ao redor do seu eixo axial.​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{E = \dfrac{Qx}{4 \pi \varepsilon _0(x^2 + R^2)^{3/2}}}$

Explicação passo-a-passo:

Não pode encontrar diretamente o campo elétrico devido a uma distribuição de carga como esta. Em vez disso, você deve quebrar o objeto em um monte de pequenos pedaços e usar o princípio da superposição.

O princípio da superposição diz que o campo elétrico total em algum ponto é a soma vetorial do campo elétrico devido às cargas pontuais individuais.

Sabendo que o campo elétrico devido a uma única mudança de ponto pode ser encontrado por,

• $\boxed{\overset{\to}{E} = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon} \dfrac{q}{r^2}\hat{r}}$

Então, se eu quebrar este anel em um conjunto de secções bem pequenas, posso encontrar o campo elétrico devido a cada um desses pontos e somá-los, e posteriormente somar todos eles (usando a integração), portanto, pegando uma carga muito pequena (na parte superior), $dq$, ela vai gerar um campo muito pequeno,

• $d\overset{\to}{E} = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon} \dfrac{dq}{r^2}\hat{r}$

Se você também considerar um pedaço de carga na parte inferior do anel, ele irá criar um campo elétrico pequeno neste mesmo local (teria a mesma magnitude que a parte elétrica da peça superior, pois tem a mesma carga e distância. No entanto, os componentes $y$ desses dois campos elétricos cancelariam e deixariam apenas um componente x do campo (veja o anexo), na verdade, para cada pequena peça do anel, existe uma peça correspondente no lado oposto do anel. Os únicos componentes sobreviventes do campo elétrico estarão na direção $x$. Então, isso é tudo que precisamos calcular, veja que, $dE_x = dE\cos(\varphi)$, sendo assim,

$\\ \iff dE_x = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon _0} \dfrac{dq}{r^2} \cos(\varphi)$

(portanto, não é mais um vetor mas sim componente x do campo elétrico, que é apenas um escalar)

Pelo triângulo pitagórico, observamos que, $r^2 = x^2 + R^2$ e que, $\cos(\varphi) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + R^2}}$, destarte,

$\\ \iff dE_x = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon} \dfrac{xdq}{(x^2 + R^2)\sqrt{x^2 + R^2} }$

$\\ \iff dE_x = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon} \dfrac{xdq}{(x^2 + R^2)^{3/2}}$

Conforme eu integro sobre dq, eu apenas obtenho a soma dos dq's - que seria Q, portanto,

$\\ \iff \displaystyle\int dE_x = \displaystyle\int_0^Q \dfrac{1}{4\pi \varepsilon} \dfrac{xdq}{(x^2 + R^2)^{3/2} }$

(irei omitir os cálculos, pois não é o objetivo da questão)

Portanto, sabemos que,

$E = \sqrt{(E_x)^2 + (E_y)^2}$ (com $E_y = 0$)

Logo,

$E = \dfrac{kQx}{(x^2 + R^2)^{3/2}}$

Espero ter colaborado!

• Saudações,
• @ZIBIA, David Munguenela Jr.

FENG. $\mathcal{\red{Mozambique}}$

UEM (freshman at college)