Question

Calcule o ângulo formado por dois vetores de módulos 5 unidades e 6 unidades e cujo vetor resultante tem módulo $\sqrt{61}$ unidades?

Answer 1

Dados dois vetores  $\overset{\to}{\mathbf{a}}$ e $\overset{\to}{\mathbf{b}},$ cujos módulos são

$a$ e $b,$ respectivamente,

e sendo $\theta$ o menor ângulo formado entre estes dois vetores $(0^{\circ}\leq \theta \leq 180^{\circ}),$


então o módulo da soma dos vetores $\overset{\to}{\mathbf{a}}$ e $\overset{\to}{\mathbf{b}}$ é dado por

$\left\|\overset{\to}{\mathbf{a}}+\overset{\to}{\mathbf{b}}\right\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cdot \cos \theta}$

(Lei dos Cossenos para a soma de vetores).


Para esta questão, temos

$a=5\\ \\ b=6\\ \\ \left\|\overset{\to}{\mathbf{a}}+\overset{\to}{\mathbf{b}} \right\|=\sqrt{61}$


Substituindo na Lei dos Cossenos, temos

$\sqrt{61}=\sqrt{5^{2}+6^{2}+2\cdot 5\cdot 6\cdot \cos \theta}\\ \\ \sqrt{61}=\sqrt{25+36+60\cdot \cos \theta}\\ \\ \sqrt{61}=\sqrt{61+60\cdot \cos \theta}$


Elevando os dois lados ao quadrado, temos

$61=61+60\cdot \cos \theta\\ \\ 60\cdot \cos \theta=61-61\\ \\ 60\cdot \cos \theta=0\\ \\ \cos \theta=0\;\;\Rightarrow\;\;\boxed{\begin{array}{c}\theta=90^{\circ} \end{array}}$