Question

Calcule o ângulo formado por dois vetores, de módulo 5 unidades e 6 unidades, e cujo vetor soma tem módulo raiz de 61 unidades?

Answer 1

$\vec A = 5\\ \vec B = 6\\ \vec A +\vec B = \vec R \\ \vec A+ \vec B = \sqrt{61}$

Se fossemos aplicar o método do polígono ou paralelogramo a soma de A e B iria nos dar a resultante. Portanto, a resultante R é igual à raiz quadrada de 61.

Aplicando a "lei dos cossenos", temos:

$\vec R^2 = \vec A^2 + \vec B^2 + 2 \times \vec A \times \vec B \times cos \theta \\ \sqrt{61^2} = 5^2 + 6^2 + 2 \times 5 \times 6 \times cos\theta \\ 61 = 25 + 36 + 2 \times 30 \times cos \theta \\ 61 = 61 + 60 \times cos \theta \\ 0 = 60 \times cos \theta \\ \\ cos \theta = \dfrac{0}{-60} \\ \\ \boxed{cos \theta = 0}$

Pro cosseno ser igual a zero, o ângulo formado por esses vetores podem ser 90° ou 270°.

Vamos confirmar qual ângulo é o correto? 

Se o ângulo for reto, então os eixos vertical e horizontal serão igual a 90°. Descrevendo matematicamente: 

$R^2 = A^2 + B^2$ 

Aplicando Pitágoras, temos: 

$R^2 = A^2 + B^2 \\ \sqrt{61^2} = 5^2 + 6^2 \\ 61 = 25 + 36 \\ 61 = 61.$

O ângulo não pode ser obtuso (maior que 90 graus), pois, nesse caso, a resultante teria que ser maior que a soma dos outros dois lados. 

$R^2 > A^2 + B^2$

Logo, o ângulo é de 90°.

Bons estudos!