Question

Calcule o ângulo entre os vetores v e w, sabendo que |u| = |w| = 5, |v| = 1, |u -v + w| = |u +v + w| e que o ângulo entre u e v é pi/8

Answer 1

Formato dos vetores:

u = ai + bj
v = ci + dj
w = ei + fj

(ac + bd) / 5 = cos(Pi/8)
ac + bd = 5cos(Pi/8) (1)

|u - v + w| = |u + v + w| (2)

Expandindo (2):

(a - c + e)² + (b - d + f)² = (a + c + e)² + (b + d + f)²

a² + c² + e² - 2ac - 2ce + 2ae + b² + d² + f² - 2bd - 2df + 2bf = a² + c² + e² + 2ac + 2ce + 2ae + b² + d² + f² + 2bd + 2df + 2bf

- 2ac - 2ce - 2bd - 2df = 2ac + 2ce + 2bd + 2df

- 2(ac + bd) - 2(ce + df) = 2(ac + bd) + 2(ce + df)

Substituindo (1) em (2):

- 2(5cos(Pi/8)) - 2(ce + df) = 2(5cos(Pi/8)) + 2(ce + df)

- 4(ce + df) = 4(5cos(Pi/8))

ce + df = -5 cos(Pi/8)

(ce + df) / 5 = -cos(Pi/8)

(ce + df) / 5 = -0,92388

arccos((ce + df) / 5) = arccos(-0,92388)

arccos((ce + df) / 5) = 157,5°