Question

Calcule o ângulo entre os vetores v = (2,2) e u = (0,2)

Answer 1

Temos os seguintes vetores:

$\vec{v} = \: < 2,2 > \: \: \: e \: \: \: \vec{u} = < 0,2>$

Para encontrar o ângulo entre esses dois vetores, devemos usar a relação que diz:

$\boxed{\boxed{\cos \theta = \frac{ \vec{v}. \vec{u}}{ | | \vec{v}| | . | | \vec{u}| | } }}$

Ou seja, o ângulo entre os vetores é igual ao produto escalar dos vetores envolvidos divido pela norma de cada um, vulgo módulo. Primeiro vamos calcular o produto escalar:

$\vec{v} = \: < a _1 ,b _1 > \: \: \: e \: \: \: \vec{u} = \: < a _2 ,b _2 > \\ \\ \vec{v}. \vec{u} = a _1.a_2 + b_1.b_2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Aplicando essa regra:

$\vec{v}. \vec{u} = 2.0 + 2.2 \\ \vec{v}. \vec{u} = 0 + 4 \: \: \: \: \: \: \: \\ \vec{v}. \vec{u} = 4 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora vamos calcular a norma de cada um desses vetores, para isso você deve lembrar que:

$\boxed{ | | \vec{v}| | = \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2} + c {}^{2} } }$

Aplicando:

$\: | | \vec{v}| | = \sqrt{2 {}^{2}+ 2 {}^{2} } \\ | | \vec {v}| | = \sqrt{4 + 4} \: \: \: \\ | | \vec{v}| | = \sqrt{8} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ | | \vec{v}| | = 2 \sqrt{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ | | \vec{u}| | = \sqrt{0 {}^{2} + 2 {}^{2} } \\ | | \vec{u}| | = \sqrt{0 + 4} \: \: \: \: \\ | | \vec{u}| | = \sqrt{4} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ | | \vec{u}| | = 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo os dados na relação citada no começo da resolução:

$\cos \theta = \frac{4}{2 \sqrt{2}.2 } \: \: \: \\ \\ \cos \theta = \frac{4}{4 \sqrt{2} } \: \: \: \: \: \: \\ \\ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \cos \theta = \frac{1}{ \sqrt{2} } . \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } \\ \\ \cos \theta = \frac{ \sqrt{2} }{2} \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \theta = arcos \frac{ \sqrt{2} }{2} \: \: \: \\ \\ \boxed{\theta = 45 {}^{ \circ} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado

Answer 2

✅ Após ter resolvido todos os cálculos concluímos que o ângulo entre os referidos vetores é:

            $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf 45^{\circ}\:\:\:}} \end{gathered} }$

Sejam os vetores:

               $\Large\begin{cases}\vec{v} = (2, 2)\\\vec{u} = (0, 2) \end{cases}$

Sabendo que o produto escalar - produto interno - entres os respectivos valores - nesta ordem - pode ser calculado pela seguinte fórmula:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}<\vec{v}, \vec{u}> = \|\vec{v}\|\cdot\|\vec{u}\|\cdot cos\:\theta \end{gathered}$

Se:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\theta = ang(\vec{v}, \vec{u}) \end{gathered}$

Então:

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}cos\:\theta = \frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\|\vec{v}\|\cdot\|\vec{u}\|} \end{gathered} }$

                         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{2\cdot0 + 2\cdot2}{\sqrt{2^{2} + 2^{2}}\cdot\sqrt{0^{2} + 2^{2}}} \end{gathered} }$

                         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{0 + 4}{\sqrt{4 + 4}\cdot\sqrt{0 + 4}} \end{gathered} }$

                         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{4}{\sqrt{8}\cdot\sqrt{4}} \end{gathered} }$

                         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{4}{\sqrt{32}} \end{gathered} }$

                         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{4}{4\sqrt{2}} \end{gathered} }$

                         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{1}{\sqrt{2}} \end{gathered} }$

                         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \end{gathered} }$

                        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{\sqrt{2}}{2} \end{gathered} }$

Portanto, o valor do cosseno procurado é:

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}cos\:\theta = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{gathered} }$

Então:

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\theta = arccos\:\Bigg(\frac{\sqrt{2}}{2} \Bigg) = \frac{\pi}{4}rad = 45^{\circ} \end{gathered} }$

✅ Portanto:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\theta = ang(\vec{u},\vec{v}) = 45^{\circ} \end{gathered}$

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