Question

Calcule o ângulo entre os vetores u= (5,2) e v= (3,7).

Answer 1

Resolução da questão, veja bem:

Chamemos o ângulo entre esses vetores de Φ (Letra grega Phi):

Para calcular o ângulo Φ entre dois vetores usamos a seguinte relação:

$\sf{cos(\phi)=\dfrac{<\vec{u},\vec{v}>}{|\vec{u}||\vec{v}|}}~~(\bf{*})$

Ou seja, teremos no numerador dessa fração o produto interno entre os vetores u e v, e no denominador, o produto entre a norma de u e a norma de v. Vamos iniciar nossa resolução calculando o produto interno entre os vetores, em seguida calculamos suas normas e substituímos em (*):

Cálculo do produto interno:

$\sf{<(5,2),(3,7)>\;=5\cdot3+2\cdot7}\\ \\ \ \sf{<(5,2),(3,7)>\;=29}$

Cálculo da norma de u e de v:

$\sf{|\vec{u}|=\sqrt{x^2+y^2}}\\ \\ \ \sf{|(5,2)|=\sqrt{5^2+2^2}}\\ \\ \ \sf{|(5,2)|=\sqrt{29}}$

$\sf{|\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2}}\\ \\ \ \sf{|(3,7)|=\sqrt{3^2+7^2}}\\ \\ \ \sf{|(5,2)|=\sqrt{58}}$

Com todas as informações em mãos podemos calcular agora o ângulo Φ entre os vetores dados:

$\sf{cos(\phi)=\dfrac{<\vec{u},\vec{v}>}{|\vec{u}||\vec{v}|}}\\ \\ \\ \sf{cos(\phi)=\dfrac{29}{\sqrt{29}\cdot\sqrt{58}}}\\ \\ \\ \sf{cos(\phi)=\dfrac{\diagup\!\!\!\!\!29}{\diagup\!\!\!\!\!29\sqrt{2}}}\\ \\ \\ \sf{cos(\phi)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}~\to~\phi=cos^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)}\\ \\ \\ \large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf{\phi=45^\circ}}}}}}~~\checkmark$

Ou seja, o ângulo entre os vetores u = (5,2) e v = (3,7) é de 45º

Espero que te ajude!!

Bons estudos!!