Question

Calcule o ângulo entre os vetores u(3,2) e v(6,4)

Answer 1

O ângulo entre dois vetores é calculado pelo quociente entre o produto interno pelo produto dos módulos de cada vetor, matematicamente dado pela expressão:

cos θ = u·v/|u|*|v|

onde u·v = u1*v1 + u2*v2.

Calculando os valores necessários, temos:

u·v = 3*6 + 2*4

u·v = 18 + 8

u·v = 26

|u| = √3²+2²

|u| = √13

|v| = √6²+4²

|v| = √52

Temos:

cos θ = 26/√676

cos θ = 26/√26²

cos θ = 26/26

cos θ = 1

O ângulo cujo cosseno vale 1 é 0º, portanto, os vetores são paralelos.

Answer 2

✅Após realizar os devidos cálculos concluímos que o ângulo entre os vetores é:

                     $\large\displaystyle\begin{gathered}\alpha = 0 \end{gathered}$

E neste caso, os vetores são paralelos.

Sejam os vetores:

                $\large\begin{cases}\vec{u} = (3, 2)\\\vec{v} = (6, 4)\end{cases}$

Sabendo que o produto interno entre dois vetores pode ser obtido utilizando a seguinte fórmula:

   

1ª      $\large\displaystyle\begin{gathered}< \vec{u}, \vec{v} > = cos\:\alpha\cdot|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\end{gathered}$

Isolando "cos α" no primeiro membro da 1ª equação, temos:

              $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}cos\:\alpha = \frac{< \vec{u}, \vec{v}>}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|} \end{gathered} }$

                         $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{x_{\vec{u}}\cdot x_{\vec{v}} + y_{\vec{u}}\cdot y_{\vec{v}}}{\sqrt{x_{\vec{u}} + y_{\vec{u}}} \cdot\sqrt{x_{\vec{v}}+ y_{\vec{v}}}} \end{gathered} }$

                         $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{3\cdot6 + 2\cdot4}{\sqrt{3^{2} + 2^{2}}\cdot\sqrt{6^{2} + 4^{2}}} \end{gathered} }$

                         $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{18 + 8}{\sqrt{9 + 4} \cdot\sqrt{36 + 16}} \end{gathered} }$

                         $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{26}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{52}} \end{gathered} }$

                         $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{26}{\sqrt{676}} \end{gathered} }$

                         $\large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{26}{26} \end{gathered}$

                         $\large\displaystyle\begin{gathered}= 1 \end{gathered}$

Portanto, o cosseno do ângulo α é:

                    $\large\displaystyle\begin{gathered}cos\:\alpha = 1 \end{gathered}$

✅ A media do ângulo "α" é a medida do arco cujo cosseno vale 1, ou seja:

                $\large\displaystyle\begin{gathered}\alpha = arccos(1) \end{gathered}$

                   $\large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:\alpha = 0 \end{gathered}$

✅ Neste caso, os vetores são paralelos, ou seja:

                         $\large\displaystyle\begin{gathered} \vec{u}\:\parallel\:\vec{v}\end{gathered}$

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