Question

Calcule o 5° termo do desenvolvimento de (x+2) elevado a 7

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Denilson, que a resolução é mais ou menos simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se o 5º termo do desenvolvimento do seguinte número , que vamos chamá-lo de um certo "k", apenas para deixá-lo igualado a alguma coisa:

k = (x+2)⁷.

ii) Note que o desenvolvimento de números desse tipo [(x+a)ⁿ são dados por combinações de "n" tomados "p" a "p", começando com p = 0, até p = n, com o que ficaríamos assim: C(n, p) = [n!/(n-p)!*p!]*xⁿ*aⁿ⁻ᵖ.
Assim, teremos que o desenvolvimento seria este:

k = C(₇, ₀)*x⁷*2⁰ + C(₇, ₁)*x⁶.2¹ + C(₇, ₂)*x⁵*2² + C(₇, ₃)*x⁴.2³ + C(₇, ₄)*x³.2⁴ + C(₇, ₅)*x²*2⁵ + C(₇, ₆)*x¹*2⁶ + C(₇, ₇)*x⁰*2⁷.

iii) Ora, mas como queremos o 5º termo, então é só contar quem daria o 5º termo. Contando, vemos que é este termo:

C(₇, ₄)*x³*2⁴ = [7!/(7-4)!.4!]*x³*2⁴ ---- chamando C(₇, ₄)*x³*2⁴ de um certo "m", teremos que:

m = [7!/(7-4)!.4!]*x³*2⁴ ----- desenvolvendo, teremos:

m  = [7!/3!*4!]*x³*16
m = [7*6*5*4!/3*2*1*4!]*16x³ ---- simplificando-se 4! do numerador com 4! do denominador, iremos ficar apenas com:

m = [7*6*5/3*2*1]*16x³
m = [210/6]*16x³ ---- como 210/6 = 35, teremos;
m = 35*16x³ ---- como 35*16 = 560, teremos:
m = 560x³ <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o quinto termo pedido do desenvolvimento (x+2)⁷.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.