Matemática, perguntado por vitoriagabriellen17, 3 meses atrás

calcule o 4° termo no desenvolvimento de (x - 1)^20

Soluções para a tarefa

Respondido por Vicktoras

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\: \large\boxed{T_{4} = - 1140x {}^{17} }$

Temos o seguinte binômio:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: (x - 1) {}^{20}$

A questão quer saber qual o quarto termo do desenvolvimento deste binômio acima.

Para este tipo de cálculo em que temos um termo específico sendo pedido, devemos utilizar o Termo Geral do Binômio, que calcula exatamente termos específicos. Tal Termo Geral é dado por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: T_{p+1} = \binom{n}{p}A^{n-p}.B^p \\$

Onde n é o exponente do binômio, p a posição do termo que será calculado e A e B o primeiro e segundo termo do binômio, respectivamente.

Organizando estes dados requeridos na fórmula:

$\: \: \: \: n = 20 \: \: \bigg | \: \: A = x \: \bigg | \: \: B = - 1$

O valor de p é um pouco diferente, pois termos que fazer um mini cálculo para descobri. Como sabemos que o termo deve ocupar a quarta posição, temos que:

$p + 1 = 4 \: \to \: p = 4 - 1 \: \to \: \boxed{p = 3} \\$

Com todos os dados em mãos, vamos substituir na fórmula e encontrar o resultado buscado.

_______________________________________

$T_{3+1} = \binom{20}{3}(x)^{20-3}.( - 1)^3 \\ \\ T_{4} = \binom{20}{3}.(x) {}^{17} .( - 1) \\ \\ T_{4} = \binom{20}{3}.( - x {}^{17} )$

Para calcular o binômio 20 de 3 a 3, devemos usar a fórmula da combinação, dada por:

$\: \: \:\:\:\:\:\:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\:\:\:\:\: \boxed{C_{n,p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}}$

Aplicando esta fórmula com os dados do binômio, temos:

$T_{4} =\frac{20!}{3!(20-3)!}.( - x {}^{17}) \: \to \: T_{4} = \frac{20!}{3!17!} \\ \\ T_{4} = \frac{20 \: . \: 19 \: . \: 18 \: .17!}{3 ! 17!} .(x {}^{ - 17} ) \: \to \: T_{4} = \frac{20 \: . \: 1 9 \: . \: 18}{3 \: . \: 2 \: 1} .( - x {}^{ 17} ) \\ \\ T_{4} = \frac{6840}{6} .( - x {}^{17} ) \: \to \: \boxed{T_{4} = - 1140x {}^{17} }$