Question

Calcule o 4° termo do desenvolvimento de (x + a ) ^15
Calcule o sexto termo no desenvolvimento (k - 1/k) ^12
Determine o quarto termo no desenvolvimento de (2x + 3) ^6
Qual é o 7° termo no desenvolvimento de (x - 3y) ^10
O símbolo ^ representa elevado.

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Para realizar tal cálculo, vamos utilizar a fórmula do termo geral do binômio de Newton, que possui a seguinte estrutura:

$\large\boxed{\boxed{T _{p + 1} = \binom{n}{p} .a {}^{n - p}.b {}^{p}} }$

a → Valor do primeiro número do binômio

b → Valor do segundo número do binômio

n → Expoente do binômio

p → "posição".

Vamos começar os cálculos:

No item a) a questão nos informa o valor da "posição", então vamos substituir na expressão:

P + 1 = 4

P = 4 - 1

P = 3

Substituindo:

$a)(x + a) {}^{15} \\ \\T _3 = \binom{15}{3} .(x) {}^{(15 - 3)} .(a) {}^{3} \\ \\ T _3 = \binom{15}{3} .(x) {}^{(12)} .a {}^{3} \\ \\ T _3 = ( \frac{15!}{3!(15 - 3)!} ).x {}^{12} .a {}^{3} \\ \\ T _3 = \frac{15 ! }{3!12!}.x {}^{12} .a {}^{3} \\ \\ T _3 = \frac{15.14.13. \cancel12!}{3! \cancel12!} .x {}^{12}.a {}^{3} \\ \\ T _3 = \frac{2730}{3.2.1}.x {}^{12} .a {}^{3} \\ \\ T _3 = \frac{2730}{6}. x {}^{12}.a {}^{3} \\ \\ \boxed{ \boxed{T _3 = 455x {}^{12}a {}^{3} }}$

Agora vamos aplicar essa mesma lógica para todos os itens, já que eles são bem semelhantes.

No item b) o valor da posição é 6.

P + 1 = 6

P = 6 - 1

P = 5

Substituindo:

$b)(k - \frac{1}{k} ) {}^{12} \\ \\ T _5 = \binom{12}{5} .k {}^{(12 - 5)} .( - \frac{1}{k} ){}^{5} \\ \\ T _5 = \binom{12}{5} .k {}^{7} . \frac{ - 1}{k {}^{5} } \\ \\ T _5 = \frac{12!}{5!(12 - 5)!} .k{}^{7} \frac{ - 1}{k {}^{5}} \\ \\ T _5 = \frac{12!}{5!7!} k {}^{7} \frac{ - 1}{k {}^{5} } \\ \\ T _5 = \frac{12.11.10.9.8. \cancel7! }{5! \cancel7!}k {}^{7} \frac{ -1 }{k {}^{5} } \\ \\ T _5 = \frac{95040}{5.4.3.2.1} k {}^{7} \frac{ - 1}{k {}^{5} } \\ \\ T _5 = \frac{95040}{120} k {}^{7}\frac{ - 1}{k {}^{5} } \\ \\ T _5 = \frac{ - 792k {}^{7}}{k {}^{5}} \\ \\ T _5 = \frac{ - 792}{1} . \frac{k {}^{7} }{k {}^{5} } \\ \\ T _5 = - 792.k {}^{(7 - 5)} \\ \\ \boxed{ \boxed{T _5 = - 792k {}^{2} }}$

No item c) o valor da posição é 4.

P + 1 = 4

P = 4 - 1

P = 3

Substituindo:

$c)(2x + 3) {}^{6} \\ \\ T _3 = \binom{6}{3} .(2x) {}^{6 - 3} .(3) {}^{3} \\ \\ T _3 = \binom{6}{3}.(2x) {}^{3} .(3) {}^{3} \\ \\ T _3 = \binom{6}{3} .8x {}^{3} .27 \\ \\ T _3 = \frac{6!}{3!(6 - 3)!} .216 {x}^{3} \\ \\ T _3 = \frac{6!}{3!3!} .216x {}^{3} \\ \\ T _3 = \frac{6.5.4. \cancel3 ! }{ \cancel3!3!} .216x {}^{3} \\ \\ T _3 = \frac{120}{3.2.1}.216x {}^{3} \\ \\ T _3 = \frac{120}{6} .216x {}^{3} \\ \\ T _3 = 20.216x {}^{3} \\ \\ \boxed{\boxed{T _3 = 4320x {}^{3} }}$

No item d) o valor da posição é igual a 7.

P + 1 = 7

P = 7 - 1

P = 6

Substituindo:

$d)(x - 3y) {}^{10} \\ \\ T _6 = \binom{10}{6} .(x) {}^{(10 - 6)} .( - 3y) {}^{6} \\ \\ T _6 = \binom{10}{6} .x {}^{4} .729y {}^{6} \\ \\ T _6 = \frac{10!}{6!(10 - 6)!} .729x {}^{4} y {}^{6} \\ \\ T _ 6 = \frac{10!}{ 6 !4! } .729x {}^{4} y {}^{6} \\ \\ T _6 = \frac{10.9.8.7. \cancel6 ! }{ \cancel6!4!} .729x {}^{4} y {}^{6} \\ \\ T _6 = \frac{5040}{4.3.2.1} .729x {}^{4} y {}^{6} \\ \\ T _6 = \frac{5040}{24} .729x {}^{4} y {}^{6} \\ \\ T _6 = 210.729x {}^{4} y {}^{6} \\ \\ \boxed{\boxed{ T _6 = 153090x {}^{4} y {}^{6} }}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️