Question

Calcule o 134º termo da sequencia ( -3,5,-6,10,-12,20,...)?PG
Poderia me ajudar ??

Answer 1

É dada a seguinte sequência:

$(-3,\,-5,\,-6,\,10,\,-12,\,20,\,\ldots)$


Analisando a sequência acima, notamos o seguinte:

$\bullet\;\;$ Os termos de ordem ímpar formam a seguinte progressão geométrica:

$(-3,\,-6,\,-12,\,\ldots,\,a_{(2k-1)},\,\ldots)~~~~~~\text{com }k=1,\,2,\,3\ldots$

que é uma P.G. de razão $q=2.$


$\bullet\;\;$ Os termos de ordem par formam outra progressão geométrica:

$(5,\,10,\,20,\,\ldots,\,a_{(2k)},\,\ldots)~~~~~~\text{com }k=1,\,2,\,3\ldots$

que também é uma P.G. de razão $q=2.$

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Dessa forma, o termo geral da sequência inicial é

$a_n=\left\{\! \begin{array}{ll} (-3)\cdot 2^{k-1}&\,,\text{ se }n=2k-1\\\\ 5\cdot 2^{k-1}&\,,\text{ se }n=2k \end{array} \right.\\\\\\\\ \begin{array}{c} a_n=\left\{\! \begin{array}{ll} (-3)\cdot 2^{[(n+1)/2]-1}&\,,\text{ se }n\text{ \'e \'impar}\\\\ 5\cdot 2^{(n/2)-1}&\,,\text{ se }n\text{ \'e par} \end{array} \right. \end{array}\\\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c} a_n=\left\{\! \begin{array}{ll} (-3)\cdot 2^{(n-1)/2}&\,,\text{ se }n\text{ \'e \'impar}\\\\ 5\cdot 2^{(n/2)-1}&\,,\text{ se }n\text{ \'e par} \end{array} \right. \end{array}}~~~~~\text{com }n=1,\,2,\,3,\,\ldots$


Logo, o 134º termo é encontrado fazendo $n=134\,,$ e usando a expressão para os termos de ordem par:

$a_{134}=5\cdot 2^{(134/2)-1}\\\\ a_{134}=5\cdot 2^{67-1}\\\\ \boxed{\begin{array}{c} a_{134}=5\cdot 2^{66} \end{array}}$