Calcule m∈ℝ para que as retas dadas por r : {x=my−1 z=y−1 } e s : x= ym =z sejam:
a) paralelas
b) reversas
Soluções para a tarefa
Primeiramente, vamos escrever as equações paramétricas das retas r e s:
r: {x = mt - 1
{y = t
{z = t - 1
e
s: {x = u
{y = mu
{z = u
sendo t e u os parâmetros reais.
A reta r possui vetor direção igual a v' = (m,1,1) e a reta s possui vetor direção igual a v" = (1,m,1).
Para que as retas sejam paralelas os vetores deverão ser linearmente dependentes e a distância entre as retas deverá ser diferente de 0.
Para que as retas sejam reversas, os vetores deverão ser linearmente independentes e a distância entre as retas deverá ser diferente de 0.
Podemos perceber que a distância entre as retas é diferente de 0. Note que a reta r passa pelo ponto (-1,0,-1) e a reta s passa pelo ponto (0,0,0) e a distância entre esses pontos é diferente de 0.
De dois vetores são LD, então o determinante é igual a 0. Se dois vetores são LI, então o determinante é diferente de 0.
Sendo assim,
a)
|1 1 1|
|1 m 1| = 0
|m 1 1 |
m - 1 - (1 - m) + 1 - m² = 0
m - 1 - 1 + m + 1 - m² = 0
-m² + 2m - 1 = 0
m = 1.
Portanto, quando m = 1, r e s serão paralelas
b) e quando m ≠ 1, r e s serão reversas.