Question

Calcule m, de modo que sec α = m - 2 e α ∈ ]3π/2, 2π[

Answer 1

Olá Krikor.


Calcule m, de modo que, sec α = m - 2 e α ∈ ]3π/2, 2π[


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Sabendo que sec α é a função inversa do cos α, temos:

1/cos α = m - 2

1/(m - 2) = cos α

Como o ângulo α está no quarto quadrante, significa que o cos α será positivo no seguinte intervalo:

1 > cos α > 0

Portanto:

1 > 1/(m - 2) > 0


(i) 1 > 1/(m - 2)     e    (ii) 1/(m - 2) > 0


Temos aqui um sistema de inequação.

A solução desse sistema será a intersecção da solução de cada uma.

Achando a solução de (i)


1/(m - 2) < 1

1/(m - 2) - 1 < 0

1/(m - 2) - (m - 2)/(m - 2) < 0

(1 - m + 2)/(m - 2) < 0

(3 - m)/(m - 2) < 0


Temos aqui uma inequação quociente. Chamando o numerador de f(m) e o denominador de q(m), vamos encontrar os valores para os quais cada uma das funções é menor que 0.

f(m) < 0

3 - m < 0

- m < - 3

m > 3


q(m) < 0

m - 2 < 0

m < 2

Fazendo o quadro de sinais

$\mathsf{f(m)\qquad\qquad\qquad\underline_{+++++++++~}}\mathsf{\underset3\circ}\underline{~------~}}\!_\big\blacktriangleright}\\\\\\\mathsf{q(m)\qquad\qquad\qquad\underline_{---~}}\underset2\circ\mathsf{\underline{~+++++++++++~}}\!_\big\blacktriangleright}\\\\\\\mathsf{\dfrac{f(m)}{q(m)}\qquad\qquad\qquad\underline_{---~}}\underset2\circ\underline{~++++~}\underset3\circ\underline{~-----~}\!_\big\blacktriangleright}$

Como queremos valores menores que 0, vamos considerar os intervalos onde o quociente das duas funções é negativo.

$\mathsf{S_1=\{m\in\mathbb{R}:~m\ \textless \ 2~ou~m\ \textgreater \ 3\}}$

Resolvendo achando o conjunto solução de (ii)

1/(m - 2) > 0

Considerando que o numerador é uma função g(m) e o denominador uma função s(m).

Como g(m) é uma constante igual a 1, será sempre positivo.

Verificando quando s(m) > 0

s(m) > 0

m - 2 > 0

m > 2

$\mathsf{g(m)\qquad\qquad\qquad\underline_{++++++++++++++++~}}\!_\big\blacktriangleright}\\\\\\\mathsf{s(m)\qquad\qquad\qquad\underline_{--------~}}\mathsf{\underset2\circ}\underline{~+++++++~}}\!_\big\blacktriangleright}\\\\\\\mathsf{\dfrac{g(m)}{s(m)}\qquad\qquad\quad~\underline{--------~}\underset2\circ\underline{~++++++~~}\!\!\big_\blacktriangleright}$

Como queremos valores maiores que 0, vamos considerar o intervalo positivo.

$\mathsf{S_2=\{m\in\mathbb{R}:m\ \textgreater \ 2\}}$

A solução do sistema é a intersecção das duas soluções.

$\mathsf{S_1\qquad\qquad\qquad\underline_{*****~}}\underset2\circ\underline{~\qquad\qquad~}\underset3\circ\underline{~*****~}\!_\big\blacktriangleright}\\\\\\\mathsf{S_2~~\qquad\qquad\quad~\underline{\qquad~\quad~}\underset2\circ\underline{~*************~}\!\!\big_\blacktriangleright}\\\\\\\mathsf{S_1 \cap S_2\quad~\quad\quad~\underline{~\qquad\qquad\qquad\qquad\quad~}\underset3\circ\underline{~*****~}\!\!\big_\blacktriangleright}}$

Portanto a solução do sistema é:

$\mathsf{S_1 \cap S_2=\{m\in\mathbb{R}:m\ \textgreater \ 3\}}~~~~\mathsf{ou~~~~m\in(3,\infty)}$


Dúvidas? comente.