Question

Calcule
Lim (x- p³/ x²- p²) x → p
Lim (8x³- 1 / 2x-1) x → 1/2

Answer 1

Olá, boa tarde.

Item a)

$\lim_{x \rightarrow p} \frac{x - p {}^{3} }{x {}^{2} - p {}^{2} }$

Vamos substituir o valor a qual o "x" tende.

$\frac{x - p {}^{3} }{x {}^{2} - p {}^{2} } = \frac{p - p {}^{3} }{p {}^{ 2} - p {}^{2} } = \frac{p - p {}^{3} }{0} = 0$

Nesse caso o valor do limite é 0.

Portanto:

$\boxed{ \lim_{x \rightarrow p} \frac{x - p {}^{3} }{x {}^{2} - p {}^{2} } = 0 }$

Item b)

Temos que:

$\boxed{\lim _{x \rightarrow \frac{1}{2}} \frac{8x {}^{3} - 1 }{2x - 1}}$

Vamos substituir o valor a qual o "x" tende.

$\frac{8.( \frac{1}{2}) {}^{3} - 1}{2. \frac{1}{2} - 1} = \frac{8. (\frac{1}{8}) - 1}{ \frac{2}{2} - 1} = \frac{ \frac{8}{8} - 1}{1 - 1} \\ \\ = \frac{1 - 1}{1 - 1} = \boxed{\frac{0}{0} }$

Nesse caso temos uma indeterminação do tipo 0/0, então vamos fazer manipulações algébricas para que essa indeterminação suma.

Podemos fatorar o polinômio 8x³ - 1 que está no numerador.

Esse produto polinômio/produto notável, possui uma estrutura, que é:

$\boxed{a {}^{3} - b {}^{3} = (a - b).(a {}^{2} +ab + b {}^{3} )}$

Vamos identificar o que é "a" e "b" do nosso produto notável e substituir na estrutura do mesmo.

$((2x) {}^{3} - 1 {}^{3} ) = a = 2x, \: \: b = 1$

Substituindo:

$((2x) {}^{3} - 1 {}^{3} ) = (2x - 1).((2x) {}^{2} - 2x.1 + (1) {}^{3} \\ \\ \boxed{ ((2x) {}^{3} - 1 {}^{3} ) = (2x - 1).(4x {}^{2} + 2x + 1)}$

Substituindo esse novo valor no local de 8x³ - 1:

$\frac{ \cancel{(2x - 1)}.(4x {}^{2} + 2x - 1)}{ \cancel{(2x - 1) }}$

Corta os termos semelhantes ↑.

Restando apenas:

$(4x {}^{2} + 2x + 1)$

Agora vamos substituir o valor a qual o "x" tende.

$(4x {}^{2} + 2x + 1) \\ x \rightarrow \frac{1}{2} \\ \\ 4.( \frac{1}{2} ) {}^{2} + 2. \frac{1}{2} + 1 \\ \\ 4.( \frac{1}{4} ) + \frac{2}{2} + 1 \\ \\ \frac{4}{4} + 1 + 1 \\ \\ 1 + 1 + 1 = \boxed{3}$

Portanto, temos que:

$\boxed{ \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}} \frac{8x {}^{3} - 1 }{2x - 1} = 3}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️