Question

Calcule:

Lim (quando x tende para mais infinito) de (2x^2 x e^-2x)

Answer 1

$\lim_{x \to \infty}2x^{2}e^{-2x}=\lim_{x \to \infty}\frac{2x^{2}}{e^{2x}}$

Sempre que tivermos um limite do tipo "$\frac{\infty}{\infty}$", podemos aplicar a regra de L'Hôspital. Então

$\lim_{x \to \infty}\frac{2x^{2}}{e^{2x}}=\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(2x^{2} \right )}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{2x} \right )}$

$=\lim_{x \to \infty}\frac{4x}{2e^{2x}}$

Aplicando novamente a regra de L'Hôspital, temos

 $\lim_{x \to \infty}\frac{4x}{2e^{2x}}=\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(4x \right )}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(2e^{2x} \right )}$

$=\lim_{x \to \infty}\frac{4}{4e^{2x}}$

$=\lim_{x \to \infty}e^{-2x}$

$=0$


$\boxed{\lim_{x \to \infty}2x^{2}e^{-2x}=0}$