Question

Calcule lim f(x+h)-f(x)/h quando h tendendo 0 sendo f dada por: f(x)= 1/raiz de 2x.
resposta com urgencia

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2x} } \\\\f(x+h)=\frac{1}{\sqrt{2(x+h)} }$

aplique as funções no limite:

$\lim_{h \to0} [\frac{\frac{1}{\sqrt{2(x+h)} }-\frac{1}{\sqrt{(2x)} } }{h} ]$

por enquanto vamos esquecer esse limite, e trabalhar apenas com as frações, de modo a tentar simplificá-las.

$\frac{\frac{1}{\sqrt{2(x+h)} }-\frac{1}{\sqrt{(2x)} } }{h}= \frac{\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{(x+h)} }-\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{(x)} } }{h}$

neste ponto, podemos racionalizar a expressão, ou seja, multiplicar e dividir por

${\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{(x+h)} }+\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{(x)} } }$

fazendo isso, então:

$[\frac{\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{(x+h)} }-\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{(x)} } }{h}]*[\frac{{\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{(x+h)} }+\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{(x)} } }}{{\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{(x+h)} }+\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{(x)} } }} ]$

fazendo as multiplicações em cima e embaixo, chegamos em:

$\frac{\frac{1}{2(x+h)} -\frac{1}{2x} }{h((\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x+h} } )+(\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{x} }) )}$

$-\frac{1}{2x(x+h)(\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{x+h} }+\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{x} } )}$

neste ponto, podemos voltar para o limite e aplicá-lo, pois a expressão já está simplificada o suficiente.

$\lim_{h \to 0} [-\frac{1}{2x(x+h)(\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{x+h} }+\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{x} } )} ]= [-\frac{1}{2x(x+0)(\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{x+0} }+\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{x} } )} ]$

$=[-\frac{1}{2x^2(\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{x} }+\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{x} } )} ]=[-\frac{1}{(\frac{4x^2}{\sqrt{2}\sqrt{x} } )} ]=-\frac{\sqrt{2}\sqrt{x} }{4x^2}$

$\boxed{\lim_{h \to 0} -\frac{\sqrt{2}\sqrt{x} }{4x^2}=-\frac{1}{2\sqrt{2}\(\ x^\ (3/2)} }}$