Question

Calcule LaTeX: \lim_{(x,y) \rightarrow (3,3)} \frac{x - y}{\sqrt x - \sqrt y}

Answer 1

Queremos calcular $\lim_{(x,y) \rightarrow (3,3)} \frac{x - y}{\sqrt x - \sqrt y}$.

Porém, observe que ao substituirmos os valores de x e y encontraremos uma indeterminação 0/0.

Lembre-se: na matemática não existe divisão por 0.

Então, para retirar essa indeterminação, vamos multiplicar a função $\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$ pelo seu conjugado, ou seja, vamos multiplicar o numerador e o denominador por √x + √y:

$\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = \frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}.\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{(x-y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{x-y} = \sqrt{x}+\sqrt{y}$.

Sendo assim, podemos concluir que o limite é igual a:

$\lim_{(x.y) \to (3,3)} \frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} =\lim_{(x,y) \to (3,3)} \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{3}+\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.