calcule L sabendo que a área colorida é de 12,5 cm
Soluções para a tarefa
O valor de L pode ser:
4 ou √1/2
A área colorida da figura é formada por 5 quadrados:
4 quadrados menores, cujos lados medem 1/L.
1 quadrado maior, cujo lado mede:
L - 2(1/L) = L - 2/L
A área dos quatros quadrados menores é:
4 × (1/L)² = 4 × 1/L² = 4/L²
A área do quadrado maior é:
(L - 2/L)² = L² - 4 + 4/L²
Assim, a área total da parte colorida é:
At = 4 + L² - 4 + 4
L² L²
At = L² - 4 + 8
L²
At = L⁴ - 4L² + 8
L²
Segundo informa o enunciado, essa área total é 12,5 cm². Logo:
L⁴ - 4L² + 8 = 12,5
L²
L⁴ - 4L² + 8 = 12,5L²
L⁴ - 4L² - 12,5L² + 8 = 0
L⁴ - 16,5L² + 8 = 0
Fazemos uma mudança de variável.
x = L²
Assim, a equação fica:
x² - 16,5x + 8 = 0
Agora, temos que resolver a equação do 2° grau.
Δ = b² - 4ac
Δ = (-16,5)² - 4.1.8
Δ = 272,25 - 32
Δ = 240,25
x = - b ± √Δ
2a
x = - (-16,5) ± √240,25
2.1
x = 16,5 ± 15,5
2
x' = 32 = 16
2
x'' = 1
2
Por fim, calculamos o valor de L.
L² = x
L² = 16
L = √16
L = ± 4
No caso, como é uma medida de comprimento, só consideramos o valor positivo. Então: L = 4.
ou...
L² = 1/2
L = √1/2
O valor de L pode ser:
4 ou √1/2
A área colorida da figura é formada por 5 quadrados:
4 quadrados menores, cujos lados medem 1/L.
1 quadrado maior, cujo lado mede:
L - 2(1/L) = L - 2/L
A área dos quatros quadrados menores é:
4 × (1/L)² = 4 × 1/L² = 4/L²
A área do quadrado maior é:
(L - 2/L)² = L² - 4 + 4/L²
Assim, a área total da parte colorida é:
At = 4 + L² - 4 + 4
L² L²
At = L² - 4 + 8
L²
At = L⁴ - 4L² + 8
L²
Segundo informa o enunciado, essa área total é 12,5 cm². Logo:
L⁴ - 4L² + 8 = 12,5
L²
L⁴ - 4L² + 8 = 12,5L²
L⁴ - 4L² - 12,5L² + 8 = 0
L⁴ - 16,5L² + 8 = 0
Fazemos uma mudança de variável.
x = L²
Assim, a equação fica:
x² - 16,5x + 8 = 0
Agora, temos que resolver a equação do 2° grau.
Δ = b² - 4ac
Δ = (-16,5)² - 4.1.8
Δ = 272,25 - 32
Δ = 240,25
x = - b ± √Δ
2a
x = - (-16,5) ± √240,25
2.1
x = 16,5 ± 15,5
2
x' = 32 = 16
2
x'' = 1
2
Por fim, calculamos o valor de L.
L² = x
L² = 16
L = √16
L = ± 4
No caso, como é uma medida de comprimento, só consideramos o valor positivo. Então: L = 4.
ou...
L² = 1/2
L = √1/2