Question

Calcule k para que a soma das raízes da equação x2 − 7kx − 2 = 0 seja 21
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Answer 1

Comecemos por relembrar as prioridades das regras operatórias:

1º - Parênteses

2º - Potências e Raizes

3º - Multiplicações e Divisões  

4º - Adições e Subtrações

Em anexo deixo ainda a tabela de sinais da multiplicação e divisão para que a relembres também, bem como a fórmula teórica da Fórmula Resolvente (Fórmula de Bhaskara).

Com isto em mente, tentemos resolver o exercício.

    $x^2-7kx-2=0$

    $x=\dfrac{-(-7k)\pm\sqrt{(-7k)^2-4\times1\times(-2)}}{2\times1}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{7k\pm\sqrt{49k^2-4\times(-2)}}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{7k\pm\sqrt{49k^2+8}}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{7k-\sqrt{49k^2+8}}{2}\;\;\vee\;\;x=\dfrac{7k+\sqrt{49k^2+8}}{2}$

Segundo o enunciado, queremos ter:

    $\dfrac{7k-\sqrt{49k^2+8}}{2}+\dfrac{7k+\sqrt{49k^2+8}}{2}=21\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{7k-\sqrt{49k^2+8}}{2}\times2+\dfrac{7k+\sqrt{49k^2+8}}{2}\times2=21\times2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left(7k-\sqrt{49k^2+8}\right)+\left(7k+\sqrt{49k^2+8}\right)=42\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow7k-\sqrt{49k^2+8}+7k+\sqrt{49k^2+8}=42\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow7k+7k-\sqrt{49k^2+8}+\sqrt{49k^2+8}=42\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow14k=42\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow k=\dfrac{42}{14}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow k=3$

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Answer 2

Para uma função do segundo grau $ax^2 +bx+c$  qualquer, podemos calcular a soma das raízes com a seguinte expressão:

$S=\dfrac{-b}{a}$

Aplicando na nossa equação:

$21 = \dfrac{-(-7k)}{1}$

$7k = 21$

$\boxed{k = 3}$