Question

Calcule i^ 100 + i^ 80 + i^ 30 .

Answer 1

Para encontrar os valores das potências de i, é preciso lembrar que os valores se repetem num periodo igual a 4, por exemplo:

$i^{0} = 1\\i^{1} = i\\i^{2} = -1\\i^{3} = -i$

A partir daí, os valores resultantes vão começar a se repetir ($i^{4} = 1, i^{5} = i...$), logo, para calcular o valor de $i^{n}$, sendo n é um numero inteiro qualquer, devemos dividir o expoente n por 4, onde o resto (r) dessa divisão, corresponderá à potência i de valor equivalente. Podemos concluir então que $i^{n} = i^{r}$ (i.e.: $i^{343} = i^{3} = -i$).

Dito isso, basta calcular o resto da divisão de 100, 80 e 30, encontrar os valores equivalentes e realizar a soma. Vamos lá!

$\frac{100}{4}$ é igual a 25 e deixa resto 0, logo: $i^{100} = i^{0} = 1$

$\frac{80}{4}$ é igual a 20 e deixa resto 0, logo $i^{80} = i^{0} = 1$

$\frac{30}{4}$ é igual a 7 e deixa resto 2, logo $i^{30} = i^{2} = -1$

Agora, basta somar todos os resultados:

$i^{100} +i^{80}+ i^{30}\\1 + 1 - 1 = 1$

Logo, o resultado de $i^{100} +i^{80}+ i^{30} = 1$