Question

calcule f(p), pela definição, sendo dados: f(x)= 3 rais de x é p=2​

Answer 1

Olá,

Vamos aplicar a definição de derivadas e depois fazer f'(p), para p = 2:

$f(x) = 3\sqrt{x}$

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to \ 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to \ 0} \frac{3 \sqrt{x + \Delta x} - 3 \sqrt{x}}{\Delta x}$

$f'(x) = 3 \lim_{\Delta x \to \ 0} \frac{ \sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x}$

$f'(x) = 3 \lim_{\Delta x \to \ 0}[ \frac{ \sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x}][ \frac{ \sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}]$

$f'(x) = 3 \lim_{\Delta x \to \ 0} \frac{( \sqrt{x + \Delta x}\ )^2 -( \sqrt{x}\ )^2}{\Delta x(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})}$

$f'(x) = 3 \lim_{\Delta x \to \ 0} \frac{x + \Delta x -x}{\Delta x(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})}$

$f'(x) = 3 \lim_{\Delta x \to \ 0} \frac{\Delta x }{\Delta x(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})}$

$f'(x) = 3 \lim_{\Delta x \to \ 0} \frac{1 }{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}$

$f'(x) = 3 \frac{1 }{\sqrt{x + 0} + \sqrt{x}}$

$f'(x) = 3 \frac{1 }{\sqrt{x } + \sqrt{x}}$

$f'(x) = \frac{3 }{2 \sqrt{x } }$

Agora fazemos f'(p):

$f'(p) = \frac{3 }{2 \sqrt{p } }$

Sendo p = 2:

$f'(p) = \frac{3 }{2 \sqrt{2 } }$

Vamos racionalizar a raiz quadrada:

$f'(p) = \frac{3 }{2 \sqrt{2 } }. \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$f'(p) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 .2 }$

$f'(p) = \frac{3 \sqrt{2}}{4 }$