Question

calcule f'(p), pela definição, sendo dados f(x)=2x³+x² e p=1

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo diferencial.

Seja a função $f(x)=2x^3+x^2$, devemos calcular o valor de $f'(p)$ para $p=1$ por meio da definição de derivada.

Lembre-se que a derivada de uma função em um ponto $(p,~f(p))$ de seu domínio é definida pelo limite: $\underset{h\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{f(p+h)-f(p)}{h}$.

Então, substituindo os dados cedidos pelo enunciado, teremos:

$f'(1)=\underset{h\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\\\\\\\ f'(1)=\underset{h\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{2\cdot(1+h)^3+(1+h)^2-(2\cdot 1^3+1^2)}{h}$

Calcule as potências e some os termos semelhantes

$f'(1)=\underset{h\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{2\cdot(1+3h+3h^2+h^3)+1+2h+h^2-(2\cdot 1+1)}{h}\\\\\\ f'(1)=\underset{h\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{2+6h+6h^2+2h^3+1+2h+h^2-3}{h}\\\\\\ f'(1)=\underset{h\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{2h^3+7h^2+8h}{h}$

Simplifique a fração por um fator $h$

$f'(1)=\underset{h\rightarrow0}{\lim}~2h^2+7h+8$

Calcule o limite da função polinomial, sabendo que se $g(x)$ contínua em $x=c$, $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~g(x)=g(c)$.

$f'(1)=2\cdot0^2+7\cdot0+8\\\\\\ f'(1)=8~~\checkmark$

Este é o valor da derivada desta função no ponto desejado.