Question

calcule f'(p), pela definição, sendo dados: f(x)=2x^3-x^2 E p= 1 ​

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de derivadas por meio da definição.

Seja $f(x)=2x^3-x^2$. Devemos calcular $f'(1)$ por meio da definição.

Lembre-se que, dada uma função $f(x)$, contínua e derivável em um ponto $p$, podemos utilizar a definição para calcular sua derivada:

$f'(p)=\underset{h\rightarrow0}\lim~\dfrac{f(p+h)-f(p)}{h}$

Assim, fazemos:

$f'(1)=\underset{h\rightarrow0}\lim~\dfrac{2\cdot(1+h)^3-(1+h)^2-(2\cdot 1^3-1^2)}{h}$

Expanda os binômios e calcule as potências

$f'(1)=\underset{h\rightarrow0}\lim~\dfrac{2\cdot(1+3h+3h^2+h^3)-(1+2h+h^2)-(2\cdot 1-1)}{h}$

Multiplique e some os termos semelhantes

$f'(1)=\underset{h\rightarrow0}\lim~\dfrac{2+6h+6h^2+2h^3-1-2h-h^2-(2-1)}{h}\\\\\\\ f'(1)=\underset{h\rightarrow0}\lim~\dfrac{2+6h+6h^2+2h^3-1-2h-h^2-1}{h}\\\\\\f'(1)=\underset{h\rightarrow0}\lim~\dfrac{2h^3+5h^2+4h}{h}$

Simplifique a fração por um fator $h$

$f'(1)=\underset{h\rightarrow0}\lim~2h^2+5h+4$

Calcule o limite da função polinomial, aplicando a propriedade $\underset{x\rightarrow c}\lim~g(x)=g(c)$

$f'(1)=2\cdot0^2+5\cdot0+4$

Calcule a potência, multiplique e some os valores

$f'(1)=2\cdot0+0+4\\\\\\ f'(1)=0+4\\\\\\ f'(1)=4$

Este é o valor que buscávamos.