Question

Calcule esse limite:

Answer 1

É dado o seguinte limite:

$L = \lim\limits_{x\to8}\dfrac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2}{x-8}$

Vamos fazer uma substituição. Considere que:

$y = \sqrt[3]{x}\Longrightarrow x = y^3$

Assim, $y\to 2$ quando $x\to 8$. Aplicando no limite:

$L = \lim\limits_{y\to2}\dfrac{\sqrt{2+y}-2}{y^3-8}$

Como temos uma indeterminação do tipo 0/0, vamos tentar "eliminar" a raiz quadrada do numerador para conseguirmos manipulá-lo melhor. Para isso, vamos multiplicar em cima e embaixo por $\sqrt{2+y}+2$, o que chamamos de "conjugado" do numerador. Assim:

$L = \lim\limits_{y\to2}\dfrac{\sqrt{2+y}-2}{y^3-8}\times\dfrac{\sqrt{2+y}+2}{\sqrt{2+y}+2}\\\\\\ L = \lim\limits_{y\to2}\dfrac{(\sqrt{2+y})^2-2^2}{(y^3-2^3)(\sqrt{2+y}+2)}\\\\\\ L = \lim\limits_{y\to2}\dfrac{(2+y)-4}{(y^3-8)(\sqrt{2+y}+2)}\\\\\\ L = \lim\limits_{y\to2}\dfrac{y-2}{(y-2)(y^2+2y+4)(\sqrt{2+y}+2)}\\\\\\ L = \lim\limits_{y\to2}\dfrac{1}{(y^2+2y+4)(\sqrt{2+y}+2)}$

Note que agora não temos mais indeterminação no limite. Basta, então, substituirmos na expressão o valor para o qual y está tendendo:

$L = \lim\limits_{y\to2}\dfrac{1}{(y^2+2y+4)(\sqrt{2+y}+2)}\\\\\\ L = \dfrac{1}{(2^2+2\cdot2+4)(\sqrt{2+2}+2)}\\\\\\ L = \dfrac{1}{(4+4+4)(\sqrt{4}+2)}\\\\\\ L = \dfrac{1}{12\cdot(2+2)}\Longrightarrow \boxed{L=\dfrac{1}{48}}$

Portanto, o valor do limite é 1/48:

$\boxed{\lim\limits_{x\to8}\dfrac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2}{x-8}=\dfrac{1}{48}}$