Question

Calcule essa integral
S(1/(x²+9))dx

esse "S" é o símbolo da integral, não quero a resposta direto porque eu sei que ela já tem na tabela quero a resposta completa

Answer 1

$\displaystyle\int\dfrac{1}{x^{2}+9}dx$

A substituição conveniente nesse caso seria $x=3\mathrm{tg}\,\theta$ (seguindo aquelas "regrinhas" de substituição trigonométrica)

Daí, tiramos que $dx=3\sec^{2}\theta\,d\theta$

Além disso, $x^{2}+9=(3\mathrm{tg}\,\theta)^{2}+9=9\mathrm{tg}^{2}\theta+9=9(\mathrm{tg}^{2}\theta+1)=9\sec^{2}\theta$

Então:

$\displaystyle\int\dfrac{1}{x^{2}+9}dx=\int\dfrac{1}{9\sec^{2}\theta}3\sec^{2}\theta\,d\theta=\int\dfrac{1}{3}\,d\theta=\dfrac{1}{3}\,\theta+C$

Porém,

$x=3\mathrm{tg}\,\theta~\Leftrightarrow~\mathrm{tg}\,\theta=\frac{x}{3}~\Leftrightarrow~\theta=\mathrm{arctg}(\frac{x}{3})$

Portanto:

$\boxed{\boxed{\displaystyle\int\dfrac{1}{x^{2}+9}dx=\dfrac{1}{3}\,\mathrm{arctg}\bigg(\frac{x}{3}\bigg)+C}}}$