Question

Calcule essa integral indefinida, só é UMA:
∫$\frac{x^2+1}{(x-2)^3}$

Answer 1

• O resultado da sua integral é:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int \frac{x^2+1}{(x-2)^3}dx= \ln|x-2|-\frac{4}{x-2} -\frac{5}{2(x-2)^2}+C \end{gathered}$

Desejamos resolver a seguinte integral indefinida:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int \frac{x^2+1}{(x-2)^3} \ dx\end{gathered}$

Para resolver essa integral, irei utilizar o método das frações parciais.

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \frac{x^2+1}{(x-2)^3} \ =\frac{A}{x-2} +\frac{B}{(x-2)^2}+\frac{C}{(x-2)^3} \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt A(x-2)^2+B(x-2)+C=x^2+1 \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt Ax^2-4Ax+4A+Bx-2B+C-x^2-1=0 \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt x^2\cdot (A-1)+x\cdot (-4A+B)+(4A-2B+C-1)=0 \end{gathered}$

Com isso, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases}\tt A=1\\ \tt-4A+B=0\\ \tt 4A-2B+C=1\end{cases}\implies \begin{cases}\tt A=1\\ \tt B=4\\ \tt C=5\end{cases}\end{gathered}$

Destarte, surge que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \frac{x^2+1}{(x-2)^3} = \frac{1}{x-2}+\frac{4}{(x-2)^2} + \frac{5}{(x-2)^3} \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int \frac{1}{x-2} \ dx+\int \frac{4}{(x-2)^2}\ dx+\int \frac{5}{(x-2)^3}\ dx \end{gathered}$

E pela lineariedade:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int \frac{1}{x-2} \ dx+4\cdot\int \frac{1}{(x-2)^2}\ dx+5\cdot \int \frac{1}{(x-2)^3}\ dx \end{gathered}$

Vamos agora fazer uma substituição:

• $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt u=x-2 \end{gathered}$
• $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt du=dx \end{gathered}$

Logo:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int \frac{1}{u} \ du+4\cdot\int \frac{1}{u^2}\ du+5\cdot \int \frac{1}{u^3}\ du \end{gathered}$

Agora, vale ressaltar a propriedade de integração do monômio, dada da seguinte forma:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\tt \int x^n\ dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} +C\ ,\ \forall n\neq -1 } \end{gathered} }$

Sabendo disso, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \ln|u|+4\cdot\int u^{-2}\ du+5\cdot \int u^{-3}\ du \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \ln|u|+4\cdot \left(\frac{u^{-2+1}}{-2+1} \right)+5\cdot \left(\frac{u^{-3+1}}{-3+1} \right) \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \ln|u|+4\cdot \left(-\frac{1}{u} \right)+5\cdot \left(-\frac{1}{2u^2} \right) \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \ln|x-2|-\frac{4}{x-2} -\frac{5}{2(x-2)^2} \end{gathered}$

E por fim, adicionamos uma constante.

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \ln|x-2|-\frac{4}{x-2} -\frac{5}{2(x-2)^2}+C \end{gathered}$

⇒ E portanto esse é o resultado da sua integral.

Veja mais sobre:

• brainly.com.br/tarefa/50985613

Answer 2

Resposta:

∫ (x²+1)/(x-2)³ dx

Por Substituição:

Fazendo t=x-2  ==>dt=dx        e    x=t+2

∫ ((t+2)² +1)/(t)³ dt

∫ (t²+4t+4 +1)/(t)³ dt

=∫ (t²+4t+5)/(t)³ dt

= ∫ 1/t+4/t²+5/t³ dt

=ln |t|  +4*t⁻¹/(-1)  +5*t⁻²/(-2)  + c

=ln |t|  -4/t  -5/2t²  + c

Como t=x-2, ficamos então  com

= ln | x-2| -4/(x-2) -5/2(x-2)² + c

= ln | x-2| -4*2*(x-2)/2(x-2)² -5/2(x-2)² + c

= ln | x-2| +[-8x+16 -5]/2(x-2)² + c

= ln | x-2| +[11-8x]/2(x-2)² + c