Question

Calcule em seu caderno:
a) $i^{90}$
b) $i^{330}$
c) $i^{2n+2}$
d) $i^{4n}$

Answer 1

$i^1=i\\\\ i^2=-1\\\\ i^3\to i^2.i\to ~~logo, ~~-1i\to -i \\\\ i^4\to i^2.i^2\to~~logo,~~ (-1).(-1) = +1 \\\\ i^5\to i^4.i\to~~logo,~~1.i\to i\\\\ i^6\to i^4.i^2\to~~ logo, ~~1.(-1)\to -1\\\\ i^7\to i^4.i^3\to, ~~logo,~~ 1.(-i)\to -i\\\\ i^8\to i^4.i^4\to ~~ logo,~~1.1\to 1$


Perceba que obtemos um padrão, a cada 4 unidades de potência os resultados se repetem, então podemos tomar como base as quatro primeiras potências de i para fazer estes cálculos:

Para descobrir qual seria o valor de uma potência de um número grande, basta que você divida o expoente por 4, o resto que sobrar é o expoente:



$a)~i^{90}\to~~ i^2=-1 \\\\\\ b)~i^{330}\to~~i^2=-1\\\\ c)~i^{2n+2}\to~~ i^{2n}.i^2\to~ (i^2)^n .(-1)\to~ -i^{2n}\to~ (-1)^n.(-1)\to~ -(-1)^n\\\\d)~i^{4n}\to~~(i^4)^n \to ~~1^n\to~~1$

Answer 2

     As potencias de i se repetem em ciclos de 4.
     As potencias grandes serão iguais ao resto da divisão do número por 4

     a)
             $i^{90} \\ \\ 90= 22x4 + 2 \\ \\ i^{90}=i^2= -1$

   b)
             $i^{330} \\ \\ 330 = 82x4 + 2 \\ \\ i^{330} =i^2=-1$

   c)
             $i^{2n+2} = i^{2n} .i^2=(i^2)^n.(-1)=(-1)^n.(-1)=-(-1)^n$

   d)
             $i^{4n} =(i^4)^n = 1^n=1$