Question

Calcule ∫∫∫E √x² + y² dV, onde E é a região contida dentro do cilindro x² + y² = 16 e entre os planos z = - 5 e z = 4.

Answer 1

Resposta:

O primeiro passo é observar a simetria da região de interesse. Obviamente, a simetria é cilíndrica. Assim, você deve escrever o diferencial de volume em coordenadas cilíndricas bem como a função do integrando.

Lembre-se que dV=r dr d\theta dz, onde r^2=x^2+y^2. Logo, a integral será

I = \int \int \int rrdrd\theta dz = \int \int \int r^2drd\theta dz.

Os limites de integração são imediatos. A coordenada z varia de -5 a 4 e a coordenada angular de 0 a 2 \pi. Agora, como a região de integração é um cilindro de raio r=4 e centrado em (x,y)=(0,0), basta fazer r variando de 0 a 4.

Portanto,

I = \int_{-5}^{4} \int_{0}^{2 \pi}\int_{0}^{4} r^2drd\theta dz.