Question

Calcule e explique usando cada passo adaptado na resolução.


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Answer 1

Resposta: O limite não existe.

Explicação passo a passo:

Esse limite não existe, pois os limites laterais são diferentes já que analisando a partir de 3⁺, o limite dá + ∞ e a partir de 3⁻, dá - ∞.

Analisar a partir de 3⁺ significa se aproximar do valor 3 através de números superiores a 3, porém muito próximos, como 3,0001. Seria se aproximar de 3 pela direita.

O mesmo vale para 3⁻, que seria analisar 3 se aproximando de valores muito próximos a 3, mas inferiores a 3, como 2,9999. Seria se aproximar de 3 pela esquerda.

Veja abaixo:

Para x → 3⁺ :

$\lim_{x \to 3^+} \frac{\sqrt{x^2 + 2x + 6} - \sqrt{x^2 + 2x - 6}}{x^2 - 4x +3}$

$\lim_{x \to 3^+} \frac{\sqrt{(3^+)^2 + 2(3^+) + 6} - \sqrt{(3^+)^2 + 2(3^+) - 6}}{(3^+)^2 - 4(3^+) +3}$

$\lim_{x \to 3^+} \frac{\sqrt{9 + 6 + 6} - \sqrt{9 + 6 - 6}}{9 - 12 +3}$

$\lim_{x \to 3^+} \frac{\sqrt{21} - \sqrt{9}}{12 -12}$

$\lim_{x \to 3^+} \frac{\sqrt{21} - \sqrt{9}}{0^+}$ = + ∞, pois estamos dividindo $\sqrt{21} - \sqrt{9}$ por um valor muito pequeno e positivo.

Para x → 3⁻ :

$\lim_{x \to 3^-} \frac{\sqrt{x^2 + 2x + 6} - \sqrt{x^2 + 2x - 6}}{x^2 - 4x +3}$

$\lim_{x \to 3^-} \frac{\sqrt{(3^-)^2 + 2(3^-) + 6} - \sqrt{(3^-)^2 + 2(3^-) - 6}}{(3^-)^2 - 4(3^-) +3}$

$\lim_{x \to 3^-} \frac{\sqrt{9 + 6 + 6} - \sqrt{9 + 6 - 6}}{9 - 12 +3}$

$\lim_{x \to 3^-} \frac{\sqrt{21} - \sqrt{9}}{12 -12}$

$\lim_{x \to 3^-} \frac{\sqrt{21} - \sqrt{9}}{0^-}$ = - ∞, pois estamos dividindo $\sqrt{21} - \sqrt{9}$ por um valor muito pequeno e negativo.

Logo, como os limites laterais deram resultados diferentes, o limite quando x tende a 3 não existe.

Espero ter ajudado :)