Question

calcule dy/dx onde y=raiz cubica de (x^2+3)

Answer 1

A questão nos fornece a seguinte função:

$\sf y = \sqrt[3]{x {}^{2} + 3 }$

Além de a questão fornecer essa função, ela nos diz que devemos derivar essa função y em relação a x, ou seja, $\frac{dy}{dx}$.

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [ \sqrt[3]{x {}^{2} + 3} ]$

Primeiro vamos reorganizar essa expressão fazendo com que aquele radical se transforme em uma potência, para isso basta você utilizar a seguinte propriedade: $\sqrt[m]{x^{n}} = x^{\frac{n}{m}}$, aplicando:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x {}^{2} + 3 ) {}^{ \frac{1}{3} }$

• OBS: Lembre-se de considerar que (x² + 3) é uma expressão só.

Note que essa expressão trata-se de uma função composta, ou seja, devemos usar também a regra da cadeia que é dada por $\sf \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} . \frac{du}{dx}$

• Vamos agora estabeler as funções:

$\sf y = \underbrace{ (x {}^{2} + 3)}_{u}{}^{ \frac{1}{3} } \\ \\ \sf \sf u = x {}^{2} + 3 \: \: \: \: \: \\ \sf y = u {}^{ \frac{1}{3} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo os valores na relação da regra da cadeia:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}. \frac{du}{dx} \\ \\ \sf\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} u {}^{ \frac{1}{3} } . \frac{d}{dx} (x {}^{2} + 3) \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} u {}^{ \frac{1}{3} - 1} .2x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} u {}^{ - \frac{2}{3} } .2x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} . \frac{1}{u {}^{ \frac{2}{3} } } .2x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo o valor de "u":

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3(x {}^{2} + 3) { }^{ \frac{2}{3} } } .2x \\ \\ \boxed{ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3(x {}^{2} + 3) {}^{ \frac{2}{3} } } }$

Espero ter ajudado