Question

"Calcule dois números que somados totalizam 8 e multiplicados resultam em 20"
Chame de A e B as duas soluções para o problema apresentado. Qual o módulo da divisão A/B?
R: o resultado é 1!

Answer 1

Podemos expressar o problema algebricamente como
$\begin{cases} p+q=8\\ p\times q=20 \end{cases}$

p + q = 8 então p = 8 - q. Substituindo na segunda equação temos
$(8-q)q = 20\\ -q^2-8q-20=0$

Aplicando a fórmula de Bhaskara
$\Delta = 64-4(-1)(-20)\\ \Delta=64-80\\ \Delta= -16$

A solução desse sistema não está no conjunto dos números reais.
$x_1= \frac{-(8)+\sqrt{-16}}{-2}=\frac{-8+4i}{-2}=4-2i\\\\ x_2= \frac{-(8)-\sqrt{-16}}{-2}=\frac{-8-4i}{-2}=4+2i$

Atendendo o pedido do problema
A = 4-2i
B = 4+2i

Calculando o módulo de A
$|4-2i|=\sqrt{4^2 + (-2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

Calculando o módulo de B
$|4+2i|=\sqrt{4^2 + 2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

Dividindo |A| por |B| temos
$\frac{A}{B} = \frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\\\\ \boxed{\frac{A}{B} = 1}$