Question

Calcule, derivando o polinômio: y = x3 + 4/3 x2 – 5x + 1

Answer 1

Olá, siga a explicação:

Iremos calcular usando a definição abaixo:

Sendo:

$\boxed { \mathrm { y = x^{ 3} + \dfrac {4}{3} x^{ 2} - 5x + 1}}$

Temos de:

$\boxed { \mathrm {f'x = \displaystyle \lim_{\mathrm { x_1 \to x_0} } \dfrac{f(x_1 ) - f(x_0) }{x_1 - x_0} } }$

Logo:

$\displaystyle \left \{ {{\mathrm {f(x_1) = x^3 _1 + \dfrac{4}{3} x^2_1 - 5x_1 + 1 }} \atop {\mathrm {f(x_0 ) = x_0 ^3 +\dfrac{4}{3} x^2 _0 - 5x_0 + 1}}} \right. \\ \\ \\\mathrm {f'(x) = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0} \dfrac{ \left (x^3 _1 + \dfrac{4}{3} x^2_1 - 5x_1 + 1 \right ) \left ( x_0 ^3 +\dfrac{4}{3} x^2 _0 - 5x_0 + 1 \right ) }{x_1 - x_0} }$$\mathrm {f'(x) = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0} \dfrac{x^3_1 + \dfrac{4}{3} x^2_1 - 5x_1 + 1 - x^3_0 - \dfrac{4}{3} x^2_0 + 5x_0 - 1 }{x_1 - x_0} } \\ \\ \\\mathrm {f'(x) = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0} \dfrac{x_1^3 -x^3 _0+ \dfrac{4}{3} x^2_1 - \dfrac{4}{3} x^2_0 - 5x_1 + 5x_0}{x_1 - x_0} }$

Eai, como iremos prosseguir, vamos relembrar da fatoração dos cubos:

$\sf Obs: \\ \\\boxed { \mathrm { a^3 - b^3 = (a-b) (a^2 + ab +b^2) }}$

• $\mathrm {x^3_1 - x_0^3 = \left ( x_1 - x_0 \right ) \left ( x_1^2 + x_0x_1+ x_0^2 \right ) }$

• $\mathrm {\dfrac {4}{3} x_1^2 - \dfrac {4}{3} x_0^2 = \dfrac {4}{3} \left ( x^2_1 - x^2_0 \right ) = \dfrac {4}{3} \left ( x_1 - x_0 \right ) \left ( x_1 + x_0 \right ) }$

• $\mathrm { -5x_1 + 5x_0 = -5 ( x_1 - x_0) }$

⇒    $\mathrm {f'(x) = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0} \dfrac{(x_1 - x_0) (x^2_1 + x_0x_1 + x_0^2 ) + \dfrac{4}{3} (x_1 - x_0 ) (x_1 + x_0) - 5(x_1 -x_0) }{x_1 - x_0} }$

⇒   $\mathrm {f'(x) = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0} \dfrac{(x_1 - x_0) \left [ (x^2_1 + x_0x_1 + x_0^2) + \dfrac{4}{3} (x_1+x_0) - 5 \right ]}{(x_1-x_0)} }$

$\mathrm {f'(x) = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0} x^2_1 + x_0x_1 + x_0^2 + \dfrac{4}{3} (x_1+x_0) -5 } \\\\\sf Ou \: seja: \\\\\boxed {\mathrm { f'(x) = x_0^2 + x_0x_0 +x_0^2 + \dfrac{4}{3} (x_0+x_0)- 5}}$

Observação:

O numerador alterou pela multiplicação de 2 vezes:

$\Longrightarrow \dfrac {4}{3} \times 2 = \dfrac{8}{3}$

Temos, agora:

⇔  $\mathrm {f'(x) = 3x^2_0 + \dfrac{8}{3} x_0 -5 }$

⇔ $\boxed { \boxed { \mathrm { f'(x) =3x^2 + \dfrac{8}{3} x - 5 } } }$

Ou, aplicar outro método:

$\mathrm {f'(x) = 3 \centerdot x ^{3-1} + 2 \centerdot \dfrac{4}{3} x^{2-1} - 1 \centerdot 5x ^{1-1} +0 }$

$\mathrm {f'(x) = 3x^2 + \dfrac{8}{3} x^1 - 5x^0 }$

$\mathrm {f'(x) = 3x^2 + \dfrac{8}{3} x - 5 \centerdot 1}$

$\boxed { \mathrm {f'(x) = 3x^2 + \dfrac{8}{3} x-5 }}$

• Att. MatiasHP