Question

Calcule. ∫ cos³ x sen³ x dx

Answer 1

Resolução da questão, vejamos:

Calcular a integral:

$\mathsf{I=\displaystyle\int cos^3(x)sen^3(x)~dx}}}$

Vamos inicialmente reescrever a expressão do integrando para facilitar nossos cálculos:

$\mathsf{I=\displaystyle\int cos^3(x)sen^3(x)~dx}}=\mathsf{\displaystyle\int (cos(x)(cos^2(x))~sen^3(x)~dx}}$

Da trigonometria sabemos que cos²(x) = 1 - sen²(x). Vamos então usar isso na nossa integral:

$\mathsf{I=\displaystyle\int (cos(x)(cos^2(x))~sen^3(x)~dx}}=\mathsf{\displaystyle\int (cos(x)(1-sen^2(x))~sen^3(x)~dx}}\\ \\ \\ \mathsf{I=\displaystyle\int cos(x)(sen^3(x)(1-sen^2(x)))~dx}}$

Agora fazemos uma substituição simples, chamando u = sen(x), veja:

$\mathsf{I=\displaystyle\int cos(x)(sen^3(x)(1-sen^2(x)))~dx}}\\ \\ \\ \mathsf{u=sen(x)~\to~du=cos(x)~dx}}\\ \\ \\ \mathsf{I=\displaystyle\int cos(x)(sen^3(x)(1-sen^2(x)))~dx}} = \mathsf{\displaystyle\int~u^3(1-u^2)~du}}\\ \\ \\ \mathsf{I=\displaystyle\int~(u^3-u^5)~du}}\\ \\ \\ \mathsf{I=\dfrac{u^4}{4}}-\mathsf{\dfrac{u^6}{6}}~~\textsf{Voltando~para~x,~teremos:}}\\ \\ \\ \Large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{I =\dfrac{sen^4(x)}{4}}-\mathsf{\dfrac{sen^6(x)}{6}+C}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Espero que te ajude!

Bons estudos! :-)