Question

Calcule cos 2310° , se alguém conseguir responder ainda nesta noite, desde já agradeço, obrigado.

Answer 1

Nessa resolução, seguiremos 4 etapas:

--> Achar a 1ª determinação positiva de 2310°

--> Achar o simétrico da 1ª det. positiva no 1º quadrante

--> Determinar o sinal do cos(2310°).

--> Determinar o cos(2310°)

Vamos começar determinando a 1ª determinação positiva de 2310°.

A 1ª det. positiva será dado pelo resto da divisão de 2310° por 360°, logo:

$\begin{array}{cccl}&2310^\circ&&|\!\underline{~360^\circ~~}\\-&\underline{~2160^\circ~}&&~~6\\&\underbrace{150^\circ}_{Resto}&\end{array}$

Temos então que a 1ª determinação positiva de 2310° vale 150°, ou seja, 2310° equivale a 6 voltas completas do circulo trigonométrico mais 150°.

Como 150° é maior que 90°, precisamos achar o ângulo simétrico de 150° no 1º quadrante e, assim, sermos capazes de determinar seu valor com auxilio da tabela de senos e cossenos de arcos notáveis.

$\begin{array}{c|c|c|c|}\boxed{^{Simetria~de}_{~~~Arcos}}&^{Angulo~\theta~no}_{2^o~quadrante}&^{Angulo~\theta~no}_{3^o~quadrante}&^{Angulo~\theta~no}_{4^o~quadrante}\\&&&\\^{Simetrico~de~\theta}_{no~1^oquadrante}&^{180^\circ-\,\theta}_{\pi-\theta~rad}&^{~\theta-180^\circ}_{\theta-\pi~rad}&^{~360^\circ-\,\theta}_{2\pi-\theta~rad}\end{array}$

O ângulo de 150° está no 2º quadrante, logo, seguindo o "resumo" acima, teremos que seu simétrico no 1º quadrante igual a:

$^{Simetrico~de~150^\circ}_{no~1^o~quadrante}~=~180^\circ-150^\circ\\\\\\\boxed{^{Simetrico~de~150^\circ}_{no~1^o~quadrante}~=~30^\circ}$

Portanto, o módulo de cos(2310°) é igual ao cos(30°).

Precisamos ainda considerar o sinal da função cosseno no 2° quadrante.

Como mostra a tabela abaixo, a função cosseno no 2º quadrante é negativa, logo temos:

$\boxed{cos(2310^\circ)~=\,-cos(30^\circ)}$

Por fim, com a tabela de senos e cossenos dos arcos notáveis (abaixo), podemos determinar o cos(30°) e, consequentemente, cos(2310°):

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|}\boxed{_{Funcao}\backslash^{Angulo}}&^{~~0^\circ}_{0~rad}&^{~~~30^\circ}_{\pi/6~rad}&^{~~~45^\circ}_{\pi/4~rad}&^{~~~60^\circ}_{\pi/3~rad}&^{~~~90^\circ}_{\pi/2~rad}\\Seno&0&\dfrac{1}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&1\\Cosseno&1&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{1}{2}&0\\Tangente&0&\dfrac{\sqrt{3}}{3}&1&\sqrt{3}&^{~nao}_{existe}\end{array}$

$\boxed{cos(2310^\circ)~=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}~~ \Rightarrow~Resposta\\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$