Question

calcule cos 15° + sen 105°.​

Answer 1

Adição de Arcos

• Temos a Seguinte expressão:

$\large \boxed{ \sf \: cos( {15}^{o} ) + sen( {105}^{o} )}$

Primeiramente vamos Começar a Cálcular o valor do Cos 15°, e para isso vamos utilizar a seguinte propriedade:

$\large \boxed{ \sf \: cos (a- b) = cos \: a \cdot \: cos \: b + \: sen \: a \cdot \: sen \: b}$

Cálculo:

$\large \boxed{ \begin{array}{lr} \\ \sf cos( {15}^{o} ) = cos( {45}^{o} - {30}^{o}) \\ \\ \sf = cos \: {45}^{o} \cdot \: cos \: {30}^{o} + sen \: {45}^{o} \cdot \: sen \: {30}^{o} \\ \\ \sf= \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \dfrac{ \sqrt{3} }{2} + \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \: \dfrac{1}{2} \\ \\ \sf = \dfrac{ \sqrt{6} }{4} + \dfrac{ \sqrt{2} }{4} \\ \\\sf = \dfrac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{4} \\ \: \end{array}}$

Agora vamos Calcular o Sen 105°, vamos usar a seguinte propriedade:

$\large \boxed{ \sf \: sen(a \pm \: b) = sen \: a \cdot \: cos \: b \pm \: sen \: b \cdot \: cos \: a}$

Cálculo:

$\large \boxed{ \begin{array}{lr} \\ \sf sen( {105}^{o}) = sen( {60}^{o} + {45}^{o}) \\ \\ \sf = sen\: {60}^{o} \cdot \: cos \: {45}^{o} + sen \: {45}^{o} \cdot \: cos \: {60}^{o} \\ \\ \sf= \dfrac{ \sqrt{3} }{2} \cdot \dfrac{ \sqrt{2} }{2} + \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \: \dfrac{1}{2} \\ \\ \sf = \dfrac{ \sqrt{6} }{4} + \dfrac{ \sqrt{2} }{4} \\ \\\sf = \dfrac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{4} \\ \: \end{array}}$

Achamos o Seno e o Cosseno, agora fazemos a adição dos resultados que encontramos:

$\large \boxed{ \sf\dfrac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{4} + \dfrac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{4} =\dfrac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{2} }$

➡️ Resposta:

$\huge \: \boxed{ \boxed{ \sf\dfrac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{2}}}$

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Answer 2

Temos a expressão:

$\Large\boxed{\boxed{\tt cos(15)^\circ+sen(105)^\circ}}$

Primeiro,vamos calcular o valor do Cos 15°, e para isso utilizamos a seguinte propriedade:

$\large\red{\boxed{\boxed{\sf cos(a-b)=cos\:a\cdot\:cos\:b+sen\:a\cdot\:b}}}$

Logo fazemos os cálculos:

$\large\red{\boxed{\orange{\boxed{ \begin{array}{lr} \rm cos( {15}^{o} ) = cos( {45}^{o} - {30}^{o}) \\ \\ \rm = cos \: {45}^{o} \cdot \: cos \: {30}^{o} + sen \: {45}^{o} \cdot \: sen \: {30}^{o} \\ \\ \rm= \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \dfrac{ \sqrt{3} }{2} + \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \: \dfrac{1}{2} \\ \\ \rm = \dfrac{ \sqrt{6} }{4} + \dfrac{ \sqrt{2} }{4} \\ \\\rm = \dfrac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{4} \: \end{array}}}}}$

Agora calculamos o Sen 105°,e para isso usamos a seguinte propriedade:

$\large \boxed{ \rm \: sen(a \pm \: b) = sen \: a \cdot \: cos \: b \pm \: sen \: b \cdot \: cos \: a}$

Fazemos os cálculos:

$\large\red{\boxed{\orange{\boxed{ \begin{array}{lr} \tt sen( {105}^{o}) = sen( {60}^{o} + {45}^{o}) \\ \\ \tt = sen\: {60}^{o} \cdot \: cos \: {45}^{o} + sen \: {45}^{o} \cdot \: cos \: {60}^{o} \\ \\ \tt= \dfrac{ \sqrt{3} }{2} \cdot \dfrac{ \sqrt{2} }{2} + \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \: \dfrac{1}{2} \\ \\ \tt = \dfrac{ \sqrt{6} }{4} + \dfrac{ \sqrt{2} }{4} \\ \\\tt = \dfrac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{4} \: \end{array}}}}}$

Achamos o Seno e o Cosseno, logo fazemos a adição dos resultados que nós encontramos:

$\large{\red{\boxed{\orange{\boxed{ \sf\dfrac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{4} + \dfrac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{4} =\dfrac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{2} }}}}}$

Temos:

$\huge \: \red{\boxed{\blue{ \boxed{ \bf\dfrac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{2}}}}}$

$\Large{\text{\tt Bons\:estudos}}$

$\bf Duvidas?$

$\bf Deixe\;um\:coment\acute{a}rio$ =)

$\bf\large{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍