Question

Cálcule, caso exista.

lim xsen (1/x^2+y^2)
(x,y)->(0,0)

Answer 1

Se trata de un infinitesimal $x\to 0$ y una función acotada

           $\left|\sin \left(\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)\right|\leq 1 \\ \\ |x| \left|\sin \left(\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)\right|\leq |x|$

de la definición del límite tenemos que existe un $\delta>\sqrt{x^2+y^2}$ y por ende tenemos $|x|\ \textless \ \delta$ o bien $|y|\ \textless \ \delta$ por esta razón

             $|x| \left|\sin \left(\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)\right|\leq |x|\ \textless \ \delta \\ \\ \\ \left|x\sin \left(\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)\right|\ \textless \ \delta$

entonces enunciemos lo siguiente

   $\forall \varepsilon \ \textgreater \ 0\;\exists \delta \ \textgreater \ 0 : \|(x,y)-(0,0)\|\leq \delta\Longrightarrow \left|x\sin \dfrac{1}{x^2+y^2}\right|\ \textless \ \varepsilon$

en este caso $\delta = \varepsilon$ por ende

              $\lim \limits_{(x,y)\to (0,0)}x\sin \left(\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)=0$

Answer 2

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} x*sen( \frac{1}{x^2+y^2} )$

fazendo 
x=y

$\lim_{(x,x) \to (0,0)} x*sen( \frac{1}{x^2+x^2} ) \\\\ \boxed{\boxed{ \lim_{x \to 0} x*sen( \frac{1}{2x^2} ) }}$

como o limite de sen(u) varia de -1 até 1
esse limite vai tender a 0

fazendo
x²= y
x=√y


$\lim_{y\to0} \sqrt{y}* sen(\frac{1}{y+y^2} )$

mesma situação anterior 
o limite vai tender a 0

então 
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} x*sen( \frac{1}{x^2+y^2} ) =0$