Question

Calcule ∫c y² ds, onde C é a semicircunferência da figura abaixo:

Ver anexo:

Answer 1

Já temos a curva parametrizada

x(t) = 2cost

y(t) = 2sent

Achando as derivadas:

dx/dt = -2sent

dy/dt = 2cost
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"ds" é a raiz quadrada das derivadas ao quadrado

ds = √(-2sent)² +(2cost)² dt 

ds = √(4sen²t +4cos²t) dt

Como sen²t+cos²t = 1

ds = √4(sen²+cos²) dt = √4 .dt = 2dt


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Logo, substituindo y = 2sent na integral e ds = 2dt

$\\ \int\limits^ \frac{ 2\pi } {} _ 0 {(2sent)^2} \, 2dt \\ \\ =\int\limits^ \frac{ 2\pi } {} _ 0 {(4sen^2t)} \, 2dt \\ \\ = 8 . \int\limits^ \frac{ 2\pi } {} _ 0 {sen^2t} \, dt \\ \\Mas, sen^2t = \frac{1-cos(2t)}{2} \\ \\ = 8 . \int\limits^ \frac{ 2\pi } {} _ 0 { \frac{1-cos(2t)}{2}} \, dt \\ \\ = 4. \int\limits^ \frac{ 2\pi } {} _ 0 {(1-cos2t)} \, dt \\ \\ = 4 . ( t - \frac{sen2t}{2} )|(0, 2 \pi ) \\ \\ = 4 .[( 2 \pi- 0) - 0] \\ \\ = 8 \pi$