Question

Calcule ∫c y(x-z) ds, onde C é a interseção das superfícies x²+y²+z²= 9 e x+z= 3

veja anexo:

Answer 1

Sendo,

$\\ x(t) = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} .Cost \\ \\ y(t) = \frac{3Sent}{ \sqrt{2} } \\ \\ z(t) = -\frac{3}{2} + \frac{3}{2} .Cost \\ \\ Temos, \\ \\ \frac{dx}{dt} = -\frac{3}{2}Sent \\ \\ \frac{dy}{dt} = \frac{3Cost}{ \sqrt{2} } \\ \\ \frac{dz}{dt} = -\frac{3}{2}Sent \\ \\ Portando: \\ \\ ds = \sqrt{ (\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2+(\frac{dz}{dt})^2} dt \\ \\ ds = \sqrt{(-\frac{3}{2}Sent)^2+( \frac{3Cost}{ \sqrt{2} })^2+(-\frac{3}{2}Sent)^2} dt$

$\\ ds = \sqrt{\frac{9}{4}Sen^2t+ \frac{9Cos^2t}{ 2}+\frac{9}{4}Sen^2t} .dt \\ \\ ds = \sqrt{\frac{9}{2}Sen^2t+\frac{9}{2}Cos^2t} .dt \\ \\ ds = \sqrt{ \frac{9}{2}(Sen^2t+Cos^2t) } .dt \\ \\ Mas, sen^2t+cos^2 =1 \\ \\ ds = \sqrt{ \frac{9}{2}(1) } .dt = \frac{3}{ \sqrt{2} }.dt$

Dessa maneira, fica que:

$\\ = \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _ 0 { \frac{3Sent}{ \sqrt{2} }( \frac{3}{2} +\frac{3Cost}{2} )( -\frac{3}{2} +\frac{3Cost}{2} )}. \frac{3}{ \sqrt{2} } .dt \, \\ \\ = \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _ 0 { \frac{9Sent}{ 2 }( \frac{3}{2} +\frac{3Cost}{2} )( -\frac{3}{2} +\frac{3Cost}{2} )}.dt \, \\ \\ Como, (a-b)(a+b) =a^2-b^2 \\ \\ ( \frac{3}{2} +\frac{3Cost}{2} )( -\frac{3}{2} +\frac{3Cost}{2} )}. = (\frac{3cost}{2} )^2 - ( \frac{3}{2} )^2 \\ \\ = \frac{9}{4} .( 1 - cos^2t)$

Assim ficaremos:

$\\ = \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _ 0 { \frac{9sent}{2} }. \frac{9}{4} .( 1 - cos^2t) \, dT \\ \\ = \frac{81}{8} . \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {sent(1-cos^2t)} \, dt \\ \\ Com, u = cost \\ \\ du = - sent.dt \\ \\ -du = sent.dt \\ \\ Portanto: \\ \\ = \frac{81}{8} . \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {(1-u^2)} \, .(-du)$

Fazendo alteração no limite de integração

Tínhamos que:

u = cost

Para t = 0

u₀ = cos(0) = 1

Para t = 2π

u₂ = cos(2π) = 1

Dessa forma, fica:

$\\ \frac{81}{8} . \int\limits^ \frac{1 }{} _1 {(1-u^2)} \, (-du)$

Sem resolver, sabemos que essa integral é zero, pois temos os limites de integração iguais.

Lembrando que no teorema do cálculo diferencial e integral, que:


$\int\limits^a_a {F(x)} \, dx = 0$

Answer 2

Resposta:

Eu não entendi o porquê do z = -3/2 + 3/2 cos t

como eu encontro o z? alguém poderia me dar um passo a passo?