Question

Calcule ∫c (x+y+z), onde C é o quadrado de vértices A(1,0,1) , B(1,1,1), C(0,1,1) e D(0,0,1).
Parametrizar os segmentos de reta que formam os lados do quadrado.

Ver anexo:

Answer 1

Para AB

AB = B - A

AB = (1,1,1)-(1,0,1)

AB = (0i , 1j, 0k) = (a, b , c) <= Vetor diretor

r(t) = (xo , yo, zo) + t(a, b, c)

Escolhendo o ponto A = (1, 0, 1)

r(t) = (1 , 0 , 1) + t(0 ,1, 0)

x(t) = 1+t(0) = 1

y(t) = 0 +t(1) = t

z(t) = 1 +t(0) = 1
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Calculando as derivadas:

dx/dt = 0

dy/dt =  1

dz/dt = 0
---------------------------

Calculando o limite de integração

Escolhendo a coordenada y(t)

y(t) = t

Para y = 0 em "A"

0 = t

t  = 0


Para y = 1 em "B"

1 = t

t = 1
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Calculando "ds"

Onde, ds é a raiz quadrada das derivadas


ds = √(0²+1²+0²)dt = dt

-------------------------------------------------

Dessa maneira,

$\\ = \int\limits^1_0 {(1+t + 1)} \, dt \\ \\ = \int\limits^1_0 {(2+t)} \, dt \\ \\ = 2t + \frac{t^2}{2} |(0,1) \\ \\ = 2(1)+ \frac{1}{2} -0 \\ \\ = \frac{5}{2}$
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Agora para BC

BC = C - B

BC = (0, 1 ,1 ) - (1 ,1, 1)

BC = (-1i, 0j, 0k)


Como,

r(t) = (xo, yo, zo) + t(a, b, c)

Escolhendo (xo, yo, zo) = C

r(t) = (0, 1, 1) + t(-1, 0 , 0 )

r(t) = -ti +1j + 1k

Sendo que:

x(t) = -t

y(t) = 1

z(t) = 1

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Calculando as derivadas:

dx/dt = - 1

dy/dt = 0

dz/dt = 0
---------------------------------

Calculando "ds"

Onde, "ds" é a raiz quadrada das derivadas ao quadrado

ds = √(-1)²+0²+0² dt = 1dt

------------------------------------

Calculando o limite de integração

Pegando a coordenada x(t)

x(t) = -t

Para x = 1 em "B"

1 = -t

t = -1


Para x = 0 em "C"

0 = -t

t = 0
---------------------------------


Portanto,

$\\ = \int\limits^0_ \frac{-1}{} {(-t+1+1)} \, dt \\ \\ = \int\limits^0_ \frac{-1}{} {(-t+2)} \, dt \\ \\ = - \frac{t^2}{2} +2t |(-1,0) \\ \\ = 0 - ( - \frac{(-1)^2}{2} +2(-1) ) \\ \\ = - ( -\frac{1}{2} -2 ) \\ \\ = \frac{5}{2}$
------------------------------------------------------

Para o segmento CD

CD = D - C

CD = (0,0,1) - (0,1,1)

CD = (0i, -1j, 0k)

Sendo que,

r(t) = (xo, yo, zo) + t(a, b , c)

Escolhendo o ponto D = (0,0,1)

r(t) = (0, 0 ,1) + t(0, -1, 0)

Ou seja:

x(t) = 0

y(t) = - t

z(t) = 1
---------------------------

Calculando o limite de integração a partir de y(t)

Para y = 1 em "C"

1 = -t

t = -1

Para y = 0 em "D"

0 = -t

t = 0
------------------------

Calculando as derivadas de x, y e z:

dx/dt = 0

dy/dt = -1

dz/dt = 0
-----------------------------

Então,  ds = √ (0)²+(-1)²+(0)² dt = 1dt

Dessa maneira:

$\\ = \int\limits^0_ \frac{-1}{} {(0 -t+1)} \, dt \\ \\ = - \frac{t^2}{2} +t |(-1,0) \\ \\ = 0 - ( - \frac{(-1)^2}{2} -1) \\ \\ = \frac{3}{2}$
--------------------------------------------------

E por fim, temos o segmento DA

DA = A - D

DA = (1, 0, 1) - (0,0,1)

DA = (1i, 0j, 0k)

Escolhendo o ponto D = (0,0,1)

Teremos:

r(t) = (0, 0 ,1) + t(1, 0 , 0 )

Desse modo:

x(t) = t

y(t) = 0

z(t) = 1
--------------------------------

Calculando as derivadas:

dx/dt = 1

dy/dt = 0

dz/dt = 0
-------------------------------

Calculando "ds"

ds = √(1)²+0²+0² dt = 1dt
------------------------------

Calculando o limite de integração a partir de x(t)

x(t) = t

Para x = 0  em D

0 = t

t = 0


Para x = 1 em "A"

1 = t

t = 1
---------------------------

Então:

$\\ = \int\limits^1_0 {(t+0+1)} \, dt \\ \\ = \frac{t^2}{2} +t|(0,1) \\ \\ = \frac{1}{2} +1 \\ \\ = \frac{3}{2}$

---------------------------

Então teremos que a integral de linha total será:

$\\ Resp = \frac{5}{2} + \frac{5}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \\ \\ Resp = \frac{16}{2} \\ \\ Resp = 8$