Question

Calcule ∫c (x+y) ds, onde C é a interseção das superfícies z=x²+y² e z =4

Veja anexo:

Answer 1

Temos que:

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

Onde,

x(t) = 2cost

y(t) = 2sent

Achando as derivadas:

dx/dt = -2sent 

dy/dt = 2cost
-----------------------------

Calculando "ds" 

Onde, é a raiz quadrada das derivadas

$\\ ds = \sqrt{(-2sent)^2+(2cost)^2} .dt \\ \\ ds = \sqrt{4sen^2t +4cos^2t} .dt \\ \\ ds = \sqrt{4(sen^2t+cos^2)} .dt \\ \\ Mas, sen^2t+cos^2t = 1 \\ \\ ds = \sqrt{4} dt = 2dt$

Então,

$\\ = \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {(2cost+2sent)} \, 2dt \\ \\ = 4 \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {(cost+sent)} \, dt \\ \\ = 4.(-sent +cost)|(0,2 \pi ) \\ \\ = 4.[(-sen2 \pi +cos2 \pi )-(-sen0+cos0)] \\ \\ = 4.[(-0+1)-(-0+1)] \\ \\ =4.(1+1) \\ \\ = 8$