Question

calcule ∫ c e x s e n y d x + ( e x c o s y + x ) d y onde c é o arco da circunferência de raio 1, no primeiro quadrante, orientado no sentido anti-horário.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{\pi}{4}~~\checkmark}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Devemos calcular a seguinte integral de linha:

$\mathsf{\displaystyle{\int_Ce^x\sin(y)\,dx+(e^x\cos(y)+x)\,dy}}$, em que $\mathsf{C}$ é o arco da circunferência de raio $1$, no primeiro quadrante, orientado no sentido anti-horário.

Para calcularmos esta integral, utilizaremos o Teorema de Green:

$\mathsf{\displaystyle{\int_CP\,dx+Q\,dy=\iint_R\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA}}$, em que $\mathsf{R}$ é a região definida.

Podemos ver que $\mathsf{P=e^x\sin(y)}$ e $\mathsf{Q=e^x\cos(y)+x}$. Calculamos as derivadas parciais:

$\mathsf{\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(e^x\sin(y))}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(e^x\cos(y)+x)}$

Lembre-se que:

• A derivada parcial de uma função de duas ou mais variáveis, em respeito a uma das variáveis é calculada normalmente, tratando as outras variáveis como constantes.
• A derivada do produto de uma constante e uma função é dada por: $\mathsf{\dfrac{\partial }{\partial x}(g(y)\cdot f(x))=g(y)\cdot\dfrac{\partial f}{\partial x}}$.
• A derivada da função seno é igual a função cosseno.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada da função exponencial é a própria função exponencial.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Calcule as derivadas

$\mathsf{\dfrac{\partial P}{\partial y}=e^x\cos(y)}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\partial Q}{\partial x}=e^x\cos(y)+1}$

Substituindo estas derivadas na fórmula, teremos:

$\mathsf{\displaystyle{\iint_Re^x\cos(y)+1-e^x\cos(y)\,dA}}$

Cancele os termos opostos

$\mathsf{\displaystyle{\iint_R1\,dA}}$

Então, seja a circunferência dada pela equação $\mathsf{x^2+y^2=1}$.

Parametrizamos a curva:

$\begin{cases}\mathsf{x=r\cos(\theta)}\\\mathsf{y=r\sin(\theta)}\\\end{cases}$

Determinamos os limites de integração. Substitua as parametrizações na equação da curva:

$\mathsf{(r\cos(\theta))^2+(r\sin(\theta))^2=1}$

Calcule as potências e some os valores. Lembre-se da identidade fundamental: $\mathsf{\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)=1}$.

$\mathsf{r^2\cos^2(\theta)+r^2\sin^2(\theta)=1}\\\\\\ \mathsf{r^2(\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta))=1}\\\\\\\ \mathsf{r^2=1}$

Retire a raiz em ambos os lados da equação

$r=\pm~1$

Porém, como nos foi definido que $\mathsf{C}$ é o arco da circunferência d raio $1$ que está no primeiro quadrante e orientado no sentido anti-horário, consideramos sua orientação positiva e seus limites serão:

$0\leq r\leq1\\\\\\ 0\leq \theta\leq \dfrac{\pi}{2}$

Então, calculamos o determinante jacobiano:

$\mathsf{J(r,~\theta)=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial r}&\dfrac{\partial x}{\partial \theta}\\\\ \dfrac{\partial y}{\partial r}&\dfrac{\partial y}{\partial \theta}\\\end{vmatrix}}$

Calcule as derivadas parciais e calcule o determinante

$\mathsf{J(r,~\theta)=\begin{vmatrix}\cos(\theta)&-r\sin(\theta)\\\sin(\theta)&r\cos(\theta)\\\end{vmatrix}}\\\\\\ \mathsf{J(r,~\theta)=\cos(\theta)\cdot r\cos(\theta)-(-r\sin(\theta))\cdot\sin(\theta)}\\\\\\ \mathsf{J(r,~\theta)=r\cos^2(\theta)+r\sin^2(\theta)}\\\\\\\ \mathsf{J(r,~\theta)=r}$

Reescrevendo o elemento de área como $dA=dr\,d\theta$, teremos a integral dupla: $\mathsf{\displaystyle{\iint J(r,~\theta)\,dr\,d\theta}}$. Substituímos os limites de integração e o jacobiano:

$\mathsf{\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1 r\,dr\,d\theta}}$

Para calcularmos estas integrais, lembre-se que:

• A integral de uma potência é dada por: $\mathsf{\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}, n\neq-1}}$.
• A integral definida de uma função, integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é dada por: $\mathsf{\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}}$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a regra da potência na integral mais interna

$\mathsf{\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{r^2}{2}~\biggr|_0^1\,d\theta}}\\\\\\\mathsf{\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}\,d\theta}}\\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{2}\,d\theta}}$

Aplique novamente a regra da potência

$\mathsf{\dfrac{1}{2}\cdot\theta~\biggr|_0^{\frac{\pi}{2}}}}$

Aplique os limites de integração

$\mathsf{\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{\pi}{2}-0\right)}$

Some e multiplique os valores

$\mathsf{\dfrac{\pi}{4}}$

Este é o resultado desta integral de linha.