Calcule ∫c (2x-y+z) ds, onde C é o segmento de reta que liga A (1,2,3) a B ( 2,0,1)
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12
Vamos encontrar uma parametrização para esse segmento.
Quando se trata de reta, vale lembrar que:
r(t) = (x₀, y₀, z₀) + t(a, b ,c)
Onde, (x₀, y₀, z₀) é um ponto qualquer pertencente a reta que liga A e B.
Já (a, b , c) é o vetor diretor
Onde,
O vetor diretor é:
AB = B -A
AB = (2 , 0 ,1 ) - (1 ,2, 3)
AB = (1i, -2j , -2k)
O ponto, pode ser A ou B. Para ficar mais fácil, irei utilizar o ponto B, pois temos um ponto y = 0
Desse modo:
r(t) = (2, 0, 1) + t(1 , -2, -2)
r(t) = (2+t)i -2tj + (1 -2t)k
Sendo que:
x(t) = 2+t
y(t) = -2t
z(t) = 1 -2t
Achando as derivadas:
dx/dt = 1
dy/dt = -2
dz/dt = -2
---------------------------
Desse modo:
---------------------------
Achando os limites de integração
Vamos analisar a coordenada x(t) , poderia ser qualquer uma
x(t) = 2 + t
Quando x for 1 no ponto "A"
1 = 2 + t
t = - 1
----------------------------------------
Quando x for igual a 2 em "B"
2 = 2 + t
t = 0
---------------------------------------
Portanto, a nossa integral fica:
Quando se trata de reta, vale lembrar que:
r(t) = (x₀, y₀, z₀) + t(a, b ,c)
Onde, (x₀, y₀, z₀) é um ponto qualquer pertencente a reta que liga A e B.
Já (a, b , c) é o vetor diretor
Onde,
O vetor diretor é:
AB = B -A
AB = (2 , 0 ,1 ) - (1 ,2, 3)
AB = (1i, -2j , -2k)
O ponto, pode ser A ou B. Para ficar mais fácil, irei utilizar o ponto B, pois temos um ponto y = 0
Desse modo:
r(t) = (2, 0, 1) + t(1 , -2, -2)
r(t) = (2+t)i -2tj + (1 -2t)k
Sendo que:
x(t) = 2+t
y(t) = -2t
z(t) = 1 -2t
Achando as derivadas:
dx/dt = 1
dy/dt = -2
dz/dt = -2
---------------------------
Desse modo:
---------------------------
Achando os limites de integração
Vamos analisar a coordenada x(t) , poderia ser qualquer uma
x(t) = 2 + t
Quando x for 1 no ponto "A"
1 = 2 + t
t = - 1
----------------------------------------
Quando x for igual a 2 em "B"
2 = 2 + t
t = 0
---------------------------------------
Portanto, a nossa integral fica:
caahta:
<3
Respondido por
1
O valor da integral de linha será:
Integral de Linha
Para calcularmos a integral de linha é necessário parametrizar o segmento de reta que queremos trabalhar e aplicar a seguinte mudança de variável:
- Passo 1: Calcular o vetor diretor relacionado ao segmento de reta AB.
- Passo 2: Vamos parametrizar a equação da reta que contem o segmento AB.
- Passo 3: Calculamos o módulo do vetor .
- Passo 4: Efetuamos a mudança de variável na integral de linha.
- Passo 5: Calcular a integral resultante sabendo que os limites de integração serão t = 0 e t = 1, que determinam as extremidades do segmento de reta.
Para saber mais sobre Integral de Linha acesse:
https://brainly.com.br/tarefa/27002445
#SPJ2
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