Question

Calcule ∫c (2x-y+z) ds, onde C é o segmento de reta que liga A (1,2,3) a B ( 2,0,1)

Answer 1

Vamos encontrar uma parametrização para esse segmento.

Quando se trata de reta, vale lembrar que:

r(t) = (x₀, y₀, z₀) + t(a, b ,c)

Onde, (x₀, y₀, z₀)  é um ponto qualquer pertencente a reta que liga A e B.

Já (a, b , c) é o vetor diretor 

Onde,

O vetor diretor é:

AB = B -A

AB = (2 , 0 ,1 ) - (1 ,2, 3)

AB = (1i, -2j , -2k)


O ponto, pode ser A ou B. Para ficar mais fácil, irei utilizar o ponto B, pois temos um ponto y = 0

Desse modo:

r(t) = (2, 0, 1) + t(1 , -2, -2)

r(t) = (2+t)i  -2tj + (1 -2t)k

Sendo que:

x(t) = 2+t

y(t) = -2t

z(t) = 1 -2t

Achando as derivadas:

dx/dt = 1

dy/dt = -2

dz/dt = -2
---------------------------

Desse modo:

$ds = \sqrt{(1)^2+(-2)^2+(-2)^2}dt = 3dt$
---------------------------

Achando os limites de integração

Vamos analisar a coordenada x(t) , poderia ser qualquer uma

x(t) = 2 + t

Quando x for 1 no ponto "A"

1 = 2 + t

t = - 1
----------------------------------------

Quando x for igual a 2 em "B"

2 = 2 + t

t = 0
---------------------------------------

Portanto, a nossa integral fica:

$\\= \int\limits^0_ { \frac{-1}{} } \, [2(2+t)-(-2t)+(1-2t)] 3dt \\ \\ =\int\limits^0_ { \frac{-1}{} } \, (4+2t+2t+1-2t) 3dt \\ \\= \int\limits^0_ { \frac{-1}{} } \, (5+2t) 3dt \\ \\= 3 . (5t + \frac{2t^2}{2} )|(-1,0) \\ \\= 3.(5t + t^2)|(-1,0) \\ \\= 3.(5.(0)+0^2)-3.(5.(-1)+(-1)^2) \\ \\= 0-3.(-5+1) \\ \\= -3.(-4) \\ \\= 12$

Answer 2

O valor da integral de linha será:

$\int_C (2x-y+z) \ ds=\int_a^b (6t+9) \ dt=12$

Integral de Linha

Para calcularmos a integral de linha é necessário parametrizar o segmento de reta que queremos trabalhar e aplicar a seguinte mudança de variável:

$\int_C f(x,y,z) \ ds=\int_a^b f(r(t))\cdot |r'(t)| \ dt$

• Passo 1: Calcular o vetor diretor relacionado ao segmento de reta AB.

$\vec{v}=\vec{AB}=B-A\\\\\vec{v}=(2,0,1)-(1,2,3)\\\\\vec{v}=(1,-2,-2)$

• Passo 2: Vamos parametrizar a equação da reta que contem o segmento AB.

$r:\begin{cases}x=1+t\\y=2-2t\\z=3-2t\end{cases}$

• Passo 3: Calculamos o módulo do vetor $r'(t)$.

$r(t)=(1+t,2-2t,3-2t)\\\\r'(t)=(1,-2,-2)\\\\|r'(t)|=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}\\\\|r'(t)|=3$

• Passo 4: Efetuamos a mudança de variável na integral de linha.

$\int_C (2x-y+z) \ ds=\int_a^b (2+2t-2+2t+3-2t)\cdot 3 \ dt\Rightarrow \int_a^b (6t+9) \ dt$

• Passo 5: Calcular a integral resultante sabendo que os limites de integração serão t = 0 e t = 1, que determinam as extremidades do segmento de reta.

$\int_0^1 (6t+9) \ dt=\left(\dfrac{6t^2}{2}+9t\right)\Bigg|_0^1=3+9=12$

Para saber mais sobre Integral de Linha acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/27002445

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