Question

calcule as soluçoes da equação 2^x-2^-x=5(1-2^-x)

Answer 1

Olá Poliana,

aplique algumas das propriedades da exponenciação:

$\mathsf{2^x-2^{-x}=5\cdot(1-2^{-x})}\\\\ \mathsf{2^x- \dfrac{1}{2^x}=5-5\cdot \dfrac{1}{2^x} }\\\\ \mathsf{2^x=y}\\\\ \mathsf{y- \dfrac{1}{y}+5\cdot \dfrac{1}{y}=5 }\\\\ \mathsf{y- \dfrac{1}{y}+ \dfrac{5}{y}=5 }\\\\ \mathsf{ \dfrac{y^2-1}{y}+ \dfrac{5}{y} =5 }\\\\ \mathsf{ \dfrac{y^2-1}{\not y}+ \dfrac{5}{\not y}= \dfrac{5y}{\not y} }$

$\mathsf{y^2-1+5=5y}\\ \mathsf{y^2-5y+4=0}\\\\ \mathsf{\Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot4}\\ \mathsf{\Delta=25-16}\\ \mathsf{\Delta=9}\\\\ \mathsf{y= \dfrac{-(-5)\pm \sqrt{9} }{2\cdot1} = \dfrac{5\pm3}{2} }\begin{cases}\mathsf{y_1= \dfrac{5-3}{2}= \dfrac{2}{2}=1 }\\\\ \mathsf{y_2= \dfrac{5+3}{2}= \dfrac{8}{2} =4 }\end{cases}$

$\\\\ \mathsf{2^x=1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathsf{2^x=4}\\ \mathsf{2^x=2^o}~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathsf{2^x=2^2}\\ \mathsf{\not2^x=\not2^o}~~~~~~~~~~~~~~~~\mathsf{\not2^x=\not2^2}\\\\ \mathsf{x_1=0}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathsf{x_2=2}$

Agora é só escrever a solução da equação:

$\huge\boxed{\mathsf{S=\{0,2\}}}$